Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Elemanları tam sayılardan veya bu tam sayılardan oluşan kümelerden seçilen bir AA kümesi için aşağıdakiler bilinmektedir:

* s(A)=5s(A) = 5
* {1}∈A\{1\} \in A ve {1,2}⊂A\{1, 2\} \subset A
* AA kümesinin elemanlarından yalnızca biri bir kümedir.

Buna göre, AA kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin kaç tanesinde {1}\{1\} elemanı bulunur fakat 22 elemanı bulunmaz?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 3Cevap
  4. D
    4
  5. E
    6

Cevap

Koşulları sağlayan alt küme sayısı 3'tür.
Verilen koşullara göre AA kümesinin elemanları {1,2,{1},x,y}\{1, 2, \{1\}, x, y\} şeklindedir. {1}\{1\} elemanını içeren ve 22 elemanını içermeyen 2 elemanlı alt kümeler {{1},z}\{ \{1\}, z \} biçiminde olup zz elemanı {1,x,y}\{1, x, y\} kümesinden seçilmelidir. Bu kümede 3 eleman bulunduğundan, (31)=3\binom{3}{1} = 3 farklı alt küme oluşturulabilir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin elemanlarını verilen bilgilere göre analiz etmek.
A={1,2,{1},x,y}A = \{ 1, 2, \{1\}, x, y \} şeklinde yazılabilir. Burada xx ve yy birbirinden ve 11 ile 22'den farklı tam sayılardır.
s(A)=5s(A) = 5 olduğundan kümede 5 eleman vardır. {1}∈A\{1\} \in A ifadesinden kümenin elemanlarından birinin {1}\{1\} kümesi olduğu anlaşılır. Elemanlardan yalnızca biri küme olduğundan diğer tüm elemanlar tam sayıdır. {1,2}⊂A\{1, 2\} \subset A ifadesi, 11 ve 22 tam sayılarının AA kümesinin elemanı olduğunu gösterir (yani 1∈A1 \in A ve 2∈A2 \in A). Geriye kalan iki eleman ise xx ve yy gibi tam sayılardır.
2
İstenen alt küme ko��ullarını belirlemek.
Oluşturulacak 2 elemanlı alt küme B={{1},z}B = \{ \{1\}, z \} biçimindedir. Burada z∈A−{{1},2}z \in A - \{ \{1\}, 2 \} olmalıdır.
Alt kümede {1}\{1\} elemanının bulunması istendiği için kümenin elemanlarından biri {1}\{1\} olmalıdır. Alt kümede 22 elemanının bulunmaması istendiği için diğer eleman zz, 22 olamaz. Ayrıca alt küme 2 elemanlı olduğundan zz, {1}\{1\}'den farklı bir eleman olmalıdır.
3
Seçilebilecek zz elemanlarının kümesini ve sayısını bulmak.
zz elemanı {1,x,y}\{1, x, y\} kümesinden seçilmelidir. Bu kümenin eleman sayısı 3'tür. Seçim sayısı (31)=3\binom{3}{1} = 3 olarak bulunur.
AA kümesinden {1}\{1\} ve 22 elemanlarını çıkardığımızda geriye kalan elemanlar 11, xx ve yy'dir. Dolayısıyla zz elemanı için 3 farklı seçenek vardır. Bu alt kümeler sırasıyla {{1},1}\{ \{1\}, 1 \}, {{1},x}\{ \{1\}, x \} ve {{1},y}\{ \{1\}, y \}'dir.

Anahtar Kavram

Alt küme ve eleman kavramları arasındaki farklar ile koşullu alt küme oluşturma
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru