Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPolinomlarda Dört İşlem
Gerçel katsayılı P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları için
P(x+1)+Q(x−1)=4x+6P(x + 1) + Q(x - 1) = 4x + 6
P(x−1)−Q(x+1)=2x−8P(x - 1) - Q(x + 1) = 2x - 8
eşitlikleri sağlanmaktadır.

Buna göre, P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun katsayılar toplamı kaçtır?

  1. A
    7
  2. 15Cevap
  3. C
    27
  4. D
    3
  5. E
    8

Cevap

Çarpım polinomunun katsayılar toplamı 15'tir.
Doğru seçenekte, verilen polinom eşitliklerinden hareketle polinomların dereceleri tespit edilmiş, katsayılara ait denklem sistemi doğru çözülerek P(x)=3xP(x) = 3x ve Q(x)=x+4Q(x) = x+4 polinomları bulunmuştur. Ardından P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun katsayılar toplamını bulmak amacıyla x=1x=1 değeri yerine yazılarak P(1)⋅Q(1)=15P(1) \cdot Q(1) = 15 sonucuna doğru şekilde ulaşılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Polinomların derecelerini belirlemek.
P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomları en fazla birinci dereceden olmalıdır. Dolayısıyla P(x)=ax+bP(x) = ax + b ve Q(x)=cx+dQ(x) = cx + d olarak seçilir.
Verilen iki denklemin sağ tarafındaki ifadeler (4x+64x+6 ve 2x−82x-8) birinci dereceden olduğundan, P(x)P(x) ve Q(x)Q(x) polinomlarının dereceleri 1'den büyük olamaz.
2
Birinci denklemde polinomları yerine yazarak katsayı ilişkilerini bulmak.
P(x+1)+Q(x−1)=a(x+1)+b+c(x−1)+d=(a+c)x+(a+b−c+d)=4x+6P(x+1) + Q(x-1) = a(x+1) + b + c(x-1) + d = (a+c)x + (a+b-c+d) = 4x+6 elde edilir. Buradan a+c=4a+c=4 ve a+b−c+d=6a+b-c+d=6 bulunur.
Polinomların eşitliği ilkesi gereği, aynı dereceli terimlerin katsayıları birbirine eşit olmalıdır.
3
İkinci denklemde polinomları yerine yazarak katsayı ilişkilerini bulmak.
P(x−1)−Q(x+1)=a(x−1)+b−[c(x+1)+d]=(a−c)x+(−a+b−c−d)=2x−8P(x-1) - Q(x+1) = a(x-1) + b - [c(x+1) + d] = (a-c)x + (-a+b-c-d) = 2x-8 elde edilir. Buradan a−c=2a-c=2 ve −a+b−c−d=−8-a+b-c-d=-8 bulunur.
Yine aynı şekilde polinomların eşitliği ilkesi kullanılarak x'li terimlerin ve sabit sayıların eşitliği kurulur.
4
Katsayılara ait denklem sistemini çözmek.
a+c=4a+c=4 ve a−c=2a-c=2 denklemleri taraf tarafa toplanırsa 2a=6  ⟹  a=32a=6 \implies a=3 ve c=1c=1 bulunur. Bu değerler diğer denklemlerde yerine yazılırsa b+d=4b+d=4 ve b−d=−4b-d=-4 elde edilir. Bu iki denklem taraf tarafa toplanırsa 2b=0  ⟹  b=02b=0 \implies b=0 ve d=4d=4 bulunur. Buradan P(x)=3xP(x) = 3x ve Q(x)=x+4Q(x) = x+4 olarak elde edilir.
Bilinmeyen katsayıların (a, b, c, d) değerlerini kesinleştirmek amacıyla kurulan lineer denklem sistemleri ortak çözülür.
5
Çarpım polinomunun katsayılar toplamını bulmak.
P(x)⋅Q(x)P(x) \cdot Q(x) polinomunun katsayılar toplamı için x=1x=1 yazılır. P(1)⋅Q(1)=3(1)⋅(1+4)=3⋅5=15P(1) \cdot Q(1) = 3(1) \cdot (1+4) = 3 \cdot 5 = 15 bulunur.
Bir polinomun katsayılar toplamı, polinomdaki değişkenlerin yerine 1 yazılarak hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma işlemleri ile polinom eşitliği kullanılarak katsayıların belirlenmesi ve katsayılar toplamının bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Dört İşlem

Bu konudan daha fazla soru