Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri

Üç farklı yerleşim yerinin deniz seviyesine göre metre cinsinden rakım değerleri sırasıyla aa, bb ve cc gerçel sayılarıdır. Bu sayılarla ilgili aşağıdaki bilgiler verilmektedir:

* a∈Z∖Na \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}
* b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
* c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}

Buna göre,

I. a⋅ba \cdot b bir doğal sayıdır.
II. b+cb + c bir irrasyonel sayıdır.
III. a⋅ca \cdot c bir irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. II ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

II ve III ifadeleri kesinlikle doğrudur.
İkinci önermedeki rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı kesinlikle irrasyoneldir. Üçüncü önermede ise birinci sayı negatif tam sayı olduğundan sıfırdan farklıdır; sıfır dışındaki bir rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı da her zaman irrasyoneldir. Dolayısıyla doğru yanıt bu iki önermenin birlikte yer aldığı seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Küme tanımlarını kullanarak değişkenlerin özelliklerini belirleme
a∈Z∖Na \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} olduğundan aa sıfırdan küçük bir tam sayıdır (yani a∈{−1,−2,−3,… }a \in \{-1, -2, -3, \dots\}). Buradan a≠0a \neq 0 olduğu anlaşılır. b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} olduğundan bb tam sayı olmayan bir rasyonel sayıdır. c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} olduğundan cc bir irrasyonel sayıdır.
Önermelerin doğruluğunu test edebilmek için sayıların hangi aralıklarda ve hangi özelliklerde olduğunu netleştirmemiz gerekir.
2
I. önermeyi analiz etme
a⋅ba \cdot b ifadesi rasyonel bir sayıdır ancak kesinlikle bir doğal sayı olmak zorunda değildir. Örneğin, a=−2a = -2 ve b=13b = \frac{1}{3} seçilirse, a⋅b=−23∉Na \cdot b = -\frac{2}{3} \notin \mathbb{N} olur.
Bir önermenin kesinliğini çürütmek için en az bir kar��ı örnek bulmak yeterlidir.
3
II. önermeyi analiz etme
Rasyonel bir sayı (bb) ile irrasyonel bir sayının (cc) toplamı her zaman irrasyoneldir. Eğer b+c=qb + c = q rasyonel olsaydı, c=q−bc = q - b yazılabilirdi. İki rasyonel sayının farkı da rasyonel olacağından cc sayısı rasyonel olmak zorunda kalırdı; bu durum cc'nin irrasyonel olmasıyla çelişir.
Çelişki yöntemi kullanarak rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamının karakterini belirliyoruz.
4
III. önermeyi analiz etme
Sıfırdan farklı rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. a∈Z∖Na \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} olduğundan aa bir negatif tam sayıdır ve a≠0a \neq 0'dır. Eğer a⋅c=ra \cdot c = r rasyonel olsaydı, a≠0a \neq 0 olduğundan c=rac = \frac{r}{a} yazılabilirdi. İki rasyonel sayının bölümü de rasyonel olacağından cc rasyonel olurdu, bu da cc'nin irrasyonel olmasıyla çelişir. Dolayısıyla a⋅ca \cdot c kesinlikle irrasyoneldir.
Birinci sayının sıfır olamayacağını doğal sayılar kümesi tanımından çıkararak çarpımın irrasyonelliğini kesinleştiriyoruz.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri ve rasyonel/irrasyonel sayıların kapalı işlemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru