Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri
x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0

denkleminin gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2'dir.

Buna göre,

x12x2+1+x22x1+1\frac{x_1^2}{x_2 + 1} + \frac{x_2^2}{x_1 + 1}

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    15
  2. B
    16
  3. 11Cevap
  4. D
    61
  5. E
    67

Cevap

11
İfadenin paydaları eşitlenip ortak payda altında toplandığında pay kısmında iki kare toplamı (x12+x22x_1^2 + x_2^2) ve iki küp toplamı (x13+x23x_1^3 + x_2^3), payda kısmında ise kökler çarpımı (x1x2x_1 x_2) ile kökler toplamı (x1+x2x_1 + x_2) elde edilir. Kök-katsayı ilişkilerinden x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 ve x1x2=3x_1 x_2 = 3 değerleri yerine konulup cebirsel sadeleştirme yapıldığında doğru sonuç olan 11 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Kökler toplamı ve kökler çarpımı değerlerini belirleme
x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 ve x1x2=3x_1 x_2 = 3
İkinci dereceden ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 denkleminde kökler toplamı −ba-\frac{b}{a} ve kökler çarpımı ca\frac{c}{a} formülleriyle hesaplanır. Burada a=1a=1, b=−5b=-5 ve c=3c=3 olduğundan x1+x2=−(−5)/1=5x_1+x_2 = -(-5)/1 = 5 ve x1x2=3/1=3x_1 x_2 = 3/1 = 3 elde edilir.
2
İstenen ifadeyi ortak paydada birleştirme
x12(x1+1)+x22(x2+1)(x1+1)(x2+1)=x13+x12+x23+x22x1x2+x1+x2+1\frac{x_1^2(x_1 + 1) + x_2^2(x_2 + 1)}{(x_1 + 1)(x_2 + 1)} = \frac{x_1^3 + x_1^2 + x_2^3 + x_2^2}{x_1 x_2 + x_1 + x_2 + 1}
İki rasyonel ifadenin toplamını hesaplamak için paydaları eşitleyip ortak payda altında toplarız.
3
Pay ve paydadaki ifadeleri kökler toplamı (x1+x2x_1+x_2) ve kökler çarpımı (x1x2x_1 x_2) cinsinden yazma
x12+x22=19x_1^2 + x_2^2 = 19, x13+x23=80x_1^3 + x_2^3 = 80 ve payda =9= 9
x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=52−2(3)=19x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 5^2 - 2(3) = 19 olur. x13+x23=(x1+x2)(x12−x1x2+x22)=5(19−3)=80x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2) = 5(19 - 3) = 80 olur. Payda ise x1x2+(x1+x2)+1=3+5+1=9x_1 x_2 + (x_1 + x_2) + 1 = 3 + 5 + 1 = 9 olur.
4
Değerleri yerine yazarak sonucu hesaplama
80+199=999=11\frac{80 + 19}{9} = \frac{99}{9} = 11
Bulunan değerler ifadede yerine yazıldığında pay 9999, payda ise 99 bulunur ve bölüm sonucu 1111 elde edilir.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde köklerin toplamı ve çarpımı yardımıyla simetrik cebirsel ifadelerin değerini bulma.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri