Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir matematik öğretmeni tahtaya ardışık sayılar içeren aşağıdaki üç kümeyi tanımlamıştır:

* AA kümesi, en küçük elemanı 1919 olan ardışık xx tane pozitif tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 180180'dir.
* BB kümesi, en büyük elemanı 3232 olan ardışık yy tane pozitif çift tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 162162'dir.
* CC kümesi, en büyük elemanı 2929 olan ardışık zz tane pozitif tek tam sayıdan oluşmaktadır ve bu kümenin elemanlarının toplamı 125125'dir.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayacak şekilde aşağıdaki ögeleri doğru sıraya göre düzenleyiniz.

  1. 1CC kümesinin eleman sayısı (zz)
  2. 2BB kümesinin eleman sayısı (yy)
  3. 3AA kümesinin eleman sayısı (xx)

Cevap

Doğru s��ralama C kümesinin eleman sayısı (z), B kümesinin eleman sayısı (y) ve A kümesinin eleman sayısı (x) şeklinde küçükten büyüğe doğrudur (z < y < x).
Ardışık sayılar, ardışık çift sayılar ve ardışık tek sayıların toplam formülleri ve elemanlarının pozitif olma kısıtlamaları kullanılarak kümelerin eleman sayıları sırasıyla z=5z = 5, y=6y = 6 ve x=8x = 8 olarak bulunur. Bu değerlerin küçükten büyüğe sıralanışı z<y<xz < y < x biçimindedir.

Adım Adım Çözüm

1
AA kümesinin eleman sayısını (xx) hesaplama
x=8x = 8
AA kümesinin elemanları 19,20,…,19+x−119, 20, \dots, 19 + x - 1 şeklindedir. Toplam formülünden: x2⋅[19+(18+x)]=180  ⟹  x(37+x)=360  ⟹  x2+37x−360=0\frac{x}{2} \cdot [19 + (18 + x)] = 180 \implies x(37 + x) = 360 \implies x^2 + 37x - 360 = 0. Bu denklem (x−8)(x+45)=0(x - 8)(x + 45) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. xx pozitif tam sayı olduğundan x=8x = 8 bulunur.
2
BB kümesinin eleman sayısını (yy) hesaplama
y=6y = 6
BB kümesinin elemanları en büyüğü 3232 olan ardışık çift sayılardır: 32,30,…,32−2(y−1)32, 30, \dots, 32 - 2(y-1). Toplam formülünden: y2⋅[32+(34−2y)]=162  ⟹  y(33−y)=162  ⟹  y2−33y+162=0\frac{y}{2} \cdot [32 + (34 - 2y)] = 162 \implies y(33 - y) = 162 \implies y^2 - 33y + 162 = 0. Bu denklem (y−6)(y−27)=0(y - 6)(y - 27) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Eğer y=27y = 27 alınırsa en küçük eleman 32−2(26)=−2032 - 2(26) = -20 olur ki bu pozitif olma şartıyla çelişir. Dolayısıyla y=6y = 6 olmalıdır.
3
CC kümesinin eleman sayısını (zz) hesaplama
z=5z = 5
CC kümesinin elemanları en büyüğü 2929 olan ardışık tek sayılardır: 29,27,…,29−2(z−1)29, 27, \dots, 29 - 2(z-1). Toplam formülünden: z2⋅[29+(31−2z)]=125  ⟹  z(30−z)=125  ⟹  z2−30z+125=0\frac{z}{2} \cdot [29 + (31 - 2z)] = 125 \implies z(30 - z) = 125 \implies z^2 - 30z + 125 = 0. Bu denklem (z−5)(z−25)=0(z - 5)(z - 25) = 0 olarak çarpanlarına ayrılır. Eğer z=25z = 25 alınırsa en küçük eleman 29−2(24)=−1929 - 2(24) = -19 olur ki bu pozitif olma şartıyla çelişir. Dolayısıyla z=5z = 5 olmalıdır.
4
Elde edilen eleman sayılarını küçükten büyüğe sıralama
z<y<xz < y < x
Bulunan eleman sayıları z=5z = 5, y=6y = 6 ve x=8x = 8 olduğundan, küçükten büyüğe sıralama 5<6<85 < 6 < 8 yani z<y<xz < y < x şeklindedir.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve terimler toplamı formüllerinin pozitiflik kısıtlamaları altında uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru