Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Denklemler

Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ∣x−2∣+∣x+4∣=5|x - 2| + |x + 4| = 5 denkleminin çözüm kümesi boş kümedir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade doğrudur. Denklemin çözüm kümesi boş kümedir.
Sayı doğrusunda iki nokta arasındaki uzaklık kavramı ve üçgen eşitsizliği kullanıldığında, ∣x−2∣+∣x+4∣|x-2| + |x+4| ifadesi xx sayısının 22 ve −4-4 noktalarına olan uzaklıkları toplamını temsil eder. Bu toplam en az bu iki noktanın kendi arasındaki uzaklık olan 66 birim olabilir. Dolayısıyla ifadenin 55 değerini alması imkansızdır ve çözüm kümesi boş kümedir.

Adım Adım Çözüm

1
Kritik noktaları belirleme ve sayı doğrusu üzerindeki aralıkları tanımlama
Mutlak değerlerin içini sıfır yapan değerler x=2x = 2 ve x=−4x = -4 noktalarıdır. Bu noktalar sayı doğrusunu x<−4x < -4, −4≤x≤2-4 \leq x \leq 2 ve x>2x > 2 olmak üzere üç bölgeye ayırır.
Mutlak değerli ifadelerin dışarıya nasıl çıkacağını belirlemek için kritik noktalara göre inceleme yapılması gerekir.
2
Tanımlanan aralıklar için denklemi ayrı ayrı çözme
1) x<−4x < -4 için: −(x−2)−(x+4)=5⇒−2x−2=5⇒x=−3.5-(x - 2) - (x + 4) = 5 \Rightarrow -2x - 2 = 5 \Rightarrow x = -3.5 (Bu değer x<−4x < -4 koşulunu sağlamaz).
2) −4≤x≤2-4 \leq x \leq 2 için: −(x−2)+(x+4)=5⇒6=5-(x - 2) + (x + 4) = 5 \Rightarrow 6 = 5 (Çelişki, çözüm yoktur).
3) x>2x > 2 için: (x−2)+(x+4)=5⇒2x+2=5⇒x=1.5(x - 2) + (x + 4) = 5 \Rightarrow 2x + 2 = 5 \Rightarrow x = 1.5 (Bu değer x>2x > 2 koşulunu sağlamaz).
Her aralıkta mutlak değerlerin işaretleri belirlenerek denklem normal doğrusal denkleme dönüştürülür ve bulunan köklerin aralık şartına uyup uymadığı denetlenir.
3
Çözüm kümelerinin birleşimini alma ve boş küme olduğunu doğrulama
Üç aralıkta da denklemi sağlayan geçerli bir xx gerçel sayısı bulunamadığından çözüm kümesi boş kümedir. Bu durum ifadenin doğru olduğunu gösterir.
Tüm olası gerçel sayı aralıkları incelendiği için elde edilen sonuçların birleşimi genel çözüm kümesini verir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerde üçgen eşitsizliği ve kritik noktalara göre aralık incelemesi yapılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru