Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Problemleri

Bir e-ticaret sitesi; AA, BB ve CC ürünlerini sipariş miktarlarına göre aşağıdaki kurallarla kolilemektedir:

* Her kolide ya yalnızca tek bir ürün çeşidi (sadece AA, sadece BB veya sadece CC) ya da üç üründen de birer tane (AA, BB ve CC birlikte) bulunmaktadır.
* Sadece AA ürünü içeren bir kolide 12 adet AA ürünü vardır.
* Sadece BB ürünü içeren bir kolide 8 adet BB ürünü vardır.
* Sadece CC ürünü içeren bir kolide 6 adet CC ürünü vardır.
* AA, BB ve CC ürünlerinden birer tane içeren bir kolide ise toplam 3 ürün bulunmaktadır.

Belirli bir günde paketlenen toplam koli say��sı 90'dır. Bu kolilerde bulunan toplam BB ürünü sayısı, toplam CC ürünü sayısının 2 katıdır. Paketlenen toplam AA ürünü sayısı ise 260'tır.

Buna göre, bu günde paketlenen kolilerden sadece BB ürünü içeren koli sayısı en çok kaç olabilir?

  1. A
    25
  2. B
    30
  3. C
    31
  4. 37Cevap
  5. E
    43

Cevap

Sadece B ürünü içeren koli sayısı en çok 37 olabilir.
Doğru cevap, koli sayılarının negatif olamayacağı sınır koşulundan hareketle xAx_A değerinin en fazla 21 seçilebilmesi ve bu durumda xB=6xA−89x_B = 6x_A - 89 bağıntısından sadece BB ürünü içeren koli sayısının en çok 37 olarak hesaplanmasıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Koli çeşitlerine göre değişkenleri tanımlama
Sadece AA içeren koli sayısı xAx_A, sadece BB içeren koli sayısı xBx_B, sadece CC içeren koli sayısı xCx_C ve ortak (A,B,CA, B, C) koli sayısı yy olsun. Toplam koli sayısı: xA+xB+xC+y=90x_A + x_B + x_C + y = 90 olur.
Soru içerisindeki verileri matematiksel olarak modellemek amacıyla koli sayıları değişkenlerle ifade edilmiştir.
2
Ürün miktarları arasındaki ilişkileri denklem olarak yazma
Toplam AA ürünü sayısı: 12xA+y=26012x_A + y = 260 olur.
Toplam BB ürünü sayısı: 8xB+y8x_B + y olur.
Toplam CC ürünü sayısı: 6xC+y6x_C + y olur.
BB ürünlerinin toplam sayısının, CC ürünlerinin toplam sayısının 2 katı olduğu verilmiştir:
8xB+y=2(6xC+y)  ⟹  8xB+y=12xC+2y  ⟹  8xB−12xC=y8x_B + y = 2(6x_C + y) \implies 8x_B + y = 12x_C + 2y \implies 8x_B - 12x_C = y elde edilir.
Ürün adetleri arasındaki kısıtlamaları kullanarak yy ile xBx_B ve xCx_C arasındaki ilişkiyi kurmak.
3
Denklem sistemini çözerek değişkenleri tek bir değişkene indirgeme
y=260−12xAy = 260 - 12x_A ifadesi toplam koli denkleminde yerine yazılırsa:
xA+xB+xC+(260−12xA)=90  ⟹  xB+xC=11xA−170x_A + x_B + x_C + (260 - 12x_A) = 90 \implies x_B + x_C = 11x_A - 170 (I. denklem) olur.
Diğer yandan, y=8xB−12xC=260−12xA  ⟹  2xB−3xC=65−3xAy = 8x_B - 12x_C = 260 - 12x_A \implies 2x_B - 3x_C = 65 - 3x_A (II. denklem) elde edilir.
Bu iki denklem ortak çözüldüğünde:
xC=11xA−170−xBx_C = 11x_A - 170 - x_B ifadesi II. denklemde yerine yazılırsa:
2xB−3(11xA−170−xB)=65−3xA  ⟹  5xB−33xA+510=65−3xA  ⟹  5xB=30xA−445  ⟹  xB=6xA−892x_B - 3(11x_A - 170 - x_B) = 65 - 3x_A \implies 5x_B - 33x_A + 510 = 65 - 3x_A \implies 5x_B = 30x_A - 445 \implies x_B = 6x_A - 89 bulunur.
Buradan xC=5xA−81x_C = 5x_A - 81 elde edilir.
Farklı koli sayıları arasındaki ilişkileri tek bir bağımsız değişken (xAx_A) cinsinden ifade edip analiz edilebilir hale getirmek.
4
Değişkenlerin sınır koşullarını belirleme ve en büyük değeri hesaplama
Tüm koli adetleri fiziksel olarak pozitif tam sayı veya sıfır olmalıdır (xA,xB,xC,y≥0x_A, x_B, x_C, y \ge 0):
1) y≥0  ⟹  260−12xA≥0  ⟹  12xA≤260  ⟹  xA≤21y \ge 0 \implies 260 - 12x_A \ge 0 \implies 12x_A \le 260 \implies x_A \le 21 (çünkü xAx_A tam sayıdır).
2) xC≥0  ⟹  5xA−81≥0  ⟹  5xA≥81  ⟹  xA≥17x_C \ge 0 \implies 5x_A - 81 \ge 0 \implies 5x_A \ge 81 \implies x_A \ge 17.
Bu durumda 17≤xA≤2117 \le x_A \le 21 olmalıdır.
Sadece BB ürünü içeren koli sayısı xB=6xA−89x_B = 6x_A - 89 olduğuna göre, bu değerin en büyük olması için en büyük xA=21x_A = 21 seçilmelidir:
xB=6(21)−89=126−89=37x_B = 6(21) - 89 = 126 - 89 = 37 bulunur.
Koli adetlerinin negatif olamayacağı sınır şartını uygulayarak, en büyük xBx_B tam sayı değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Doğrusal denklem sistemleri kurma, kısıtlayıcı sınırlar altında tamsayı optimizasyonu yapma.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru