Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Denklemler

Bir aa gerçel sayısı için ∣∣x−3∣−a∣=2||x - 3| - a| = 2 denkleminin gerçel sayılardaki çözüm kümesi 33 elemanlı olduğuna göre, bu denklemin köklerinin toplamı 99'dur. Bu iddia doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Bir aa gerçel sayısı için ∣∣x−3∣−a∣=2||x - 3| - a| = 2 denkleminin çözüm kümesi 33 elemanlı ise a=2a = 2 olmalıdır. Bu durumda denklemin kökleri x=−1x = -1, x=3x = 3 ve x=7x = 7 olup toplamları 99'dur. Dolayısıyla iddia doğrudur.
Verilen denklemde 33 farklı gerçel kök bulunabilmesi için mutlak değerli ifadelerden birinin sonucunun sıfır, diğerinin ise pozitif olması gerekir. Bu durum ancak a=2a = 2 için geçerlidir. Bu durumda denklemin kökleri sırasıyla −1-1, 33 ve 77 olarak bulunur ve bu köklerin toplamı 99 olduğundan verilen iddia doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli denklemi iki ayrı durum olarak inceleme
∣x−3∣=a+2|x - 3| = a + 2 veya ∣x−3∣=a−2|x - 3| = a - 2
Dıştaki mutlak değer tanımı gereği, ifadenin içi 22 veya −2-2 değerlerini alabilir.
2
Kök sayısının 33 olması koşulunu değerlendirme
a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2
∣x−c∣=k|x - c| = k denkleminin tek kökünün olması için k=0k = 0 olmalıdır. a+2=0a + 2 = 0 durumu diğer denklemin kökünün olmamasına (∣x−3∣=−4|x-3| = -4) yol açarak toplamda sadece 11 kök üretir. Bu nedenle a−2=0  ⟹  a=2a - 2 = 0 \implies a = 2 olmalıdır, bu durumda ∣x−3∣=4|x-3| = 4 denklemi 22 kök, ∣x−3∣=0|x-3| = 0 denklemi ise 11 kök üreterek toplam kök sayısını 33 yapar.
3
Bulunan a=2a = 2 değeri için kökleri bulma ve toplama
x1=7x_1 = 7, x2=−1x_2 = -1, x3=3x_3 = 3 ve Kökler toplamı =7+(−1)+3=9= 7 + (-1) + 3 = 9
a=2a = 2 için oluşan ∣x−3∣=4|x-3|=4 denkleminin kökleri 77 ve −1-1; ∣x−3∣=0|x-3|=0 denkleminin kökü ise 33'tür.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerde kök sayısının analizi ve köklerin bulunması
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru