Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorSayı Kümeleri
xx bir irrasyonel gerçel sayı olmak üzere,
x2−2xx^2 - 2x
ve
x3−5xx^3 - 5x
ifadelerinin her ikisi de birer rasyonel sayıdır.
Buna göre, x2+2xx^2 + 2x ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı ka��tır?

Cevap: 10

Cevap

İfadenin alabileceği farklı değerlerin toplamı 10'dur.
Verilen ifadelerin rasyonel olabilmesi için, x3−5xx^3 - 5x ifadesinin xx cinsinden yazılımındaki irrasyonel terimin katsayısının sıfır olması gerekir. Buradan x2−2x=1x^2 - 2x = 1 elde edilir. Bu denklemin kökleri olan 1+21+\sqrt{2} ve 1−21-\sqrt{2} değerleri için x2+2xx^2 + 2x ifadesinin alacağı değerlerin toplamı 10 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
x2−2xx^2 - 2x ve x3−5xx^3 - 5x ifadelerinin rasyonel sayı değerlerini sırasıyla aa ve bb olarak tanımlayalım.
x2−2x=ax^2 - 2x = a ve x3−5x=bx^3 - 5x = b (a,b∈Qa, b \in \mathbb{Q})
Verilen ifadelerin rasyonel sayı olma koşullarını cebirsel olarak analiz etmek.
2
x2=2x+ax^2 = 2x + a eşitliğini kullanarak x3x^3 ifadesini xx cinsinden yazalım.
x3=x⋅x2=x(2x+a)=2x2+ax=2(2x+a)+ax=(a+4)x+2ax^3 = x \cdot x^2 = x(2x + a) = 2x^2 + ax = 2(2x + a) + ax = (a + 4)x + 2a
x3x^3 teriminin derecesini düşürerek birinci dereceden bir ifade elde etmek.
3
Elde ettiğimiz x3x^3 ifadesini x3−5xx^3 - 5x ifadesinde yerine yazarak düzenleyelim.
x3−5x=(a+4)x+2a−5x=(a−1)x+2a=bx^3 - 5x = (a + 4)x + 2a - 5x = (a - 1)x + 2a = b
x3−5xx^3 - 5x ifadesini xx cinsinden ifade etmek.
4
xx irrasyonel sayısı için (a−1)x=b−2a(a - 1)x = b - 2a eşitliğini inceleyelim.
a−1=0  ⟹  a=1a - 1 = 0 \implies a = 1 ve b=2a=2b = 2a = 2
Eğer a−1≠0a - 1 \neq 0 olsaydı, x=b−2aa−1x = \frac{b - 2a}{a - 1} olurdu ve a,ba, b rasyonel olduğundan xx de rasyonel olurdu. Bu durum xx'in irrasyonel olmasıyla çelişir.
5
a=1a = 1 için x2−2x=1x^2 - 2x = 1 denklemini çözelim.
x2−2x−1=0  ⟹  x=1+2x^2 - 2x - 1 = 0 \implies x = 1 + \sqrt{2} veya x=1−2x = 1 - \sqrt{2}
xx irrasyonel sayısının alabileceği olası gerçel sayı değerlerini bulmak.
6
Bulunan xx değerleri için x2+2xx^2 + 2x ifadesinin değerlerini hesaplayıp toplayalım.
x2=2x+1x^2 = 2x + 1 olduğundan, x2+2x=4x+1x^2 + 2x = 4x + 1 olur. Buradan değerler 5+425+4\sqrt{2} ve 5−425-4\sqrt{2} olup toplamları 1010'dur.
İstenen değerlerin toplamını elde etmek.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin özellikleri, kapalılık ve irrasyonellik tanımı.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru