Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme
Üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısı için K(ABC)K(ABC) işlemi,
K(ABC)=AB+BC+CAK(ABC) = AB + BC + CA
biçiminde tanımlanıyor. Burada ABAB, BCBC ve CACA iki basamaklı doğal sayılardır.

Üç basamaklı ABCABC doğal sayısı, rakamlarının toplamının 35 katına eşittir.

Buna göre, K(ABC)K(ABC) işleminin sonucu kaçtır?

Cevap: 99

Cevap

Doğru yanıt 99'dur.
Çözümleme sonucunda elde edilen 65A=25B+34C65A = 25B + 34C eşitliğinde 5 ile bölünebilme kuralı uygulandığında C=5C = 5 olmalıdır. Buradan elde edilen 13A=5B+3413A = 5B + 34 eşitliğini sağlayan rakamlar A=3A=3 ve B=1B=1'dir. Bu rakamlarla oluşturulan iki basamaklı sayıların toplamı 31+15+53=9931 + 15 + 53 = 99 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sayıyı basamaklarına çözümleyerek verilen bağıntıyı denkleme dönüştürmek
65A=25B+34C65A = 25B + 34C
100A+10B+C=35(A+B+C)100A + 10B + C = 35(A + B + C) denklemindeki terimler bir araya toplanarak sadeleştirilmiştir.
2
Bölünebilme analizini kullanarak birler basamağını tespit etmek
C=5C = 5
65A65A ve 25B25B sayıları 5'in tam katı olduğundan 34C34C sayısı da 5'in katı olmalıdır. CC bir rakam olduğundan 00 veya 55 olabilir, ancak C=0C = 0 durumu rakam sınırlarını aşan değerler üretir.
3
Denklemde CC yerine yazarak diğer rakamları elde etmek
A=3A = 3 ve B=1B = 1
13A=5B+3413A = 5B + 34 eşitliğini sağlayan tek rakam çifti A=3A = 3 ve B=1B = 1 değerleridir. Sayımız böylelikle 315315 olarak bulunur.
4
İşlem tanımına göre iki basamaklı sayıları toplayıp sonuca ulaşmak
31+15+53=9931 + 15 + 53 = 99
Rakamlar yerlerine yerleştirilerek AB=31AB = 31, BC=15BC = 15 ve CA=53CA = 53 sayıları toplanmıştır.

Anahtar Kavram

Sayı Basamakları Çözümleme ve Bölünebilme Yardımıyla Rakam Denklemi Çözme

Alternatif Yöntem

ABC=35(A+B+C)ABC = 35(A+B+C) eşitliğinde 3535 çarpanından dolayı ABCABC sayısının 5'in katı olması gerektiği doğrudan görülür. Bu nedenle birler basamağı C=0C = 0 veya C=5C = 5 olmalıdır. C=0C = 0 için ABC=AB0ABC = AB0 olup 10⋅AB=35(A+B)  ⟹  20A+2B=7A+7B  ⟹  13A=5B10 \cdot AB = 35(A+B) \implies 20A + 2B = 7A + 7B \implies 13A = 5B olur ki bunu sağlayan bir BB rakamı bulunamaz. Böylelikle doğrudan C=5C = 5 durumu incelenerek çözüm süresi kısaltılabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru