Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri

Sayı kümeleri konusunu çalışan bir öğrenci, rasyonel sayılar kümesi Q\mathbb{Q} ve tam sayılar kümesi Z\mathbb{Z} olmak üzere, aşağıdaki AA kümesini tanımlıyor:

A={xQZ | x=n3, nZ ve 4<x<3}A = \left\{ x \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} \ \middle|\ x = \frac{n}{3}, \ n \in \mathbb{Z} \text{ ve } -4 < x < 3 \right\}

Buna göre, AA kümesinin eleman sayısı kaçtır?

Cevap: 14

Cevap

A kümesinin eleman sayısı 14'tür.
Kümenin elemanları, verilen eşitsizliği sağlayan ve 3'ün katı olmayan n tam sayılarından elde edilen tam sayı dışındaki rasyonel sayılardır. Eşitsizlik çözüldüğünde n için elde edilen 20 tam sayıdan, x'i tam sayı yapan 6 tane 3'ün katı çıkarıldığında geriye 14 eleman kalır.

Adım Adım Çözüm

1
x sayısının tanımını ve n sayısının özelliğini belirleme
n sayısı 3'ün katı olmamalıdır.
x sayısının rasyonel sayı olup tam sayı olmamasını (x in Q \ Z) sağlamak için.
2
x için verilen eşitsizlik aralığında n'nin aralığını bulma
-12 < n < 9 aralığındaki tam sayılar.
-4 < n/3 < 3 eşitsizliğini n değişkenine göre çözmek için.
3
Aralıktaki tüm tam sayıların sayısını hesaplama
20 adet tam sayı.
-11 ile 8 arasındaki (sınırlar dahil) tam sayıların miktarını bulmak için.
4
3'ün katı olan sayıları çıkartarak eleman sayısını hesaplama
14 adet eleman.
n sayısı 3'ün katı olduğunda x bir tam sayı olacağı için bu değerleri dışlamak gerekir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve tam sayı kümelerinin tanımı, küme farkı işlemi ve eşitsizlik çözümü
Bu soruyu puanla