Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri

aa, bb ve cc sayıları için,
* a∈N∖Z+a \in \mathbb{N} \setminus \mathbb{Z}^+
* b∈Z∖Nb \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}
* c∈Q∖Zc \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
olduğu bilinmektedir.

Buna göre,
I. a⋅ca \cdot c bir tam sayıdır.
II. b−ab - a bir negatif tam sayıdır.
III. b⋅cb \cdot c bir tam sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

Birinci ve ikinci öncüllerin her zaman doğru olduğunu belirten seçenek doğrudur.
Verilen sayı kümelerine göre a=0a = 0, bb negatif tam sayı ve cc tam sayı olmayan rasyonel sayıdır. Bu durumda a⋅c=0⋅c=0a \cdot c = 0 \cdot c = 0 tam sayı olup birinci öncül doğrudur. b−a=b−0=bb - a = b - 0 = b negatif tam sayı olduğundan ikinci öncül de doğrudur. Üçüncü öncül ise her zaman doğru değildir; örneğin b=−1b = -1 ve c=1/2c = 1/2 için çarpım −1/2-1/2 olup tam sayı değildir. Dolayısıyla birinci ve ikinci ifadelerin yer aldığı seçenek doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin elemanı olduğu sayı kümelerini belirlemek için küme farkı işlemlerini yapalım.
a∈N∖Z+a \in \mathbb{N} \setminus \mathbb{Z}^+ ifadesinden a=0a = 0 bulunur. b∈Z∖Nb \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} ifadesinden bb sayısının negatif bir tam sayı olduğu (b∈Z−b \in \mathbb{Z}^-) görülür. c∈Q∖Zc \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ifadesinden cc sayısının tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olduğu anlaşılır.
Öncüllerdeki ifadelerin doğruluk değerlerini inceleyebilmek için değişkenlerin hangi sayı kümelerine ait olduğunu netleştirmemiz gerekir.
2
Birinci öncülü (a⋅ca \cdot c) inceleyelim.
a=0a = 0 ve cc rasyonel sayısı için 0⋅c=00 \cdot c = 0 bulunur. 00 bir tam sayı olduğundan a⋅ca \cdot c her zaman bir tam sayıdır.
Sıfır ile herhangi bir rasyonel sayının çarpımı sıfırdır ve sıfır bir tam sayıdır.
3
İkinci öncülü (b−ab - a) inceleyelim.
bb negatif bir tam sayı ve a=0a = 0 olduğundan b−a=b−0=bb - a = b - 0 = b olur. bb negatif tam sayı olduğundan bu ifade her zaman bir negatif tam sayıdır.
Bir sayıdan sıfır çıkarıldığında sayının kendisi elde edilir.
4
Üçüncü öncülü (b⋅cb \cdot c) inceleyelim.
bb negatif bir tam sayı ve cc tam sayı olmayan bir rasyonel sayı olsun. Örneğin b=−1b = -1 ve c=12c = \frac{1}{2} seçilirse, b⋅c=−1⋅12=−12b \cdot c = -1 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} olur ve bu bir tam sayı değildir.
İfadenin her zaman doğru olmadığını göstermek için aksine bir örnek (karşıt örnek) vermek yeterlidir.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Küme İşlemleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru