Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Denklemler

Bir çikolata üretim tesisindeki temperleme makinesinin hazne sıcaklığı TT (°C) olmak üzere, bu makinenin ideal çalışma aralığı ile oda sıcaklığı dd (°C) arasındaki ilişki, kontrol ünitesi tarafından

∣∣T−18∣−d∣=6| |T - 18| - d | = 6

denklemiyle kontrol edilmektedir. Odanın sıcaklığı dd pozitif bir değerdir.

Hazne sıcaklığı TT değerinin alabileceği tam olarak 3 farklı gerçek sayı değeri bulunduğuna göre, oda sıcaklığı (dd) kaç °C'dir?

Cevap: 6 °C

Cevap

Hazne sıcaklığı T değerinin alabileceği 3 farklı gerçek sayı değeri bulunması için oda sıcaklığı d'nin değeri 6 olmalıdır.
Çikolata temperleme makinesinin hazne sıcaklığı denklemi ∣∣T−18∣−d∣=6| |T - 18| - d | = 6 şeklinde verilmiştir. Bu denklem ∣T−18∣=d+6|T - 18| = d + 6 ve ∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6 olmak üzere iki alt denkleme ayrışır. Oda sıcaklığı d>0d > 0 olduğu için d+6>0d + 6 > 0 olur ve birinci denklemden her durumda iki farklı TT değeri gelir. Toplamda 3 farklı TT değeri elde edilebilmesi için ikinci denklemden (∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6) tam olarak 1 kök gelmelidir. Bir mutlak değerli denklemin tek bir kökünün olması ise ancak mutlak değerin eşit olduğu ifadenin sıfır olmasıyla mümkündür. Buradan d−6=0  ⟹  d=6d - 6 = 0 \implies d = 6 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi mutlak değer özelliklerini kullanarak iki ayrı denkleme dönüştürmek.
∣T−18∣−d=6|T - 18| - d = 6 veya ∣T−18∣−d=−6|T - 18| - d = -6
∣A∣=B|A| = B biçimindeki denklemler A=BA = B veya A=−BA = -B olarak çözülür.
2
Birinci denklem olan ∣T−18∣=d+6|T - 18| = d + 6 ifadesinin kök sayısını belirlemek.
d>0d > 0 olduğu için d+6>0d + 6 > 0 olur ve bu denklemden her zaman iki farklı gerçek sayı kökü gelir.
Pozitif bir sayıya eşit olan mutlak değerli denklemlerin daima iki farklı reel kökü vardır.
3
İkinci denklem olan ∣T−18∣=d−6|T - 18| = d - 6 ifadesinin kök sayısını d parametresine bağlı olarak incelemek.
d−6>0  ⟹  2d - 6 > 0 \implies 2 kök, d−6<0  ⟹  0d - 6 < 0 \implies 0 kök, d−6=0  ⟹  1d - 6 = 0 \implies 1 kök (T=18T = 18) elde edilir.
Mutlak değerli bir denklemin tek kökünün olması için karşı tarafın sıfıra eşit olması gerekir.
4
Toplam kök sayısının 3 olması koşulunu uygulamak.
Birinci denklemden 2 kök geldiği için, toplamda 3 farklı kök olması amacıyla ikinci denklemden tam olarak 1 kök gelmelidir. Buradan d−6=0  ⟹  d=6d - 6 = 0 \implies d = 6 bulunur.
Kök sayısının tam olarak 3 olması, ikinci denklemin sıfıra eşit olmasını ve tek bir kök üretmesini gerektirir.

Anahtar Kavram

İç içe mutlak değerli denklemlerin kök sayısının incelenmesi ve mutlak değerin tanım kümesi sınırları.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru