Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMutlak Değerli Denklemler

Bir serada yetiştirilen egzotik bir bitkinin sağlıklı gelişebilmesi için ortam sıcaklığının belirli bir değerde tutulması gerekmektedir. Seranın sıcaklık kontrol sistemindeki bir hata nedeniyle, ayarlanan sıcaklık değeri olan xx santigrat derece ile seranın gerçek sıcaklığ�� arasındaki ilişki

∣2x−15∣=x+3|2x - 15| = x + 3

denklemiyle modellenmiştir.

Buna göre, seradaki bu koşulu sağlayan farklı xx sıcaklık değerlerinin toplamı kaçtır?

Cevap: 22

Cevap

Farklı xx sıcaklık değerlerinin toplamı 22'dir.
Verilen mutlak değerli denklem iki durumda incelenir. 2x−15≥02x - 15 \geq 0 için 2x−15=x+3  ⟹  x=182x - 15 = x + 3 \implies x = 18 bulunur. 2x−15<02x - 15 < 0 için −2x+15=x+3  ⟹  3x=12  ⟹  x=4-2x + 15 = x + 3 \implies 3x = 12 \implies x = 4 bulunur. Bulunan 18 ve 4 değerleri denklemin sağ tarafını (x+3x + 3) negatif yapmadığı için her ikisi de geçerli köklerdir. Bu değerlerin toplamı ise 22'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerin dışındaki ifadenin negatif olamayacağı koşulunu tanımlama
x+3≥0  ⟹  x≥−3x + 3 \geq 0 \implies x \geq -3 olmalıdır.
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu asla negatif olamayacağı için eşitliğin sağ tarafı sıfırdan büyük veya eşit olmalıdır.
2
Mutlak değerli ifadenin içinin pozitif veya sıfır olduğu durumu (2x−15≥0  ⟹  x≥7.52x - 15 \geq 0 \implies x \geq 7.5) inceleme
2x−15=x+3  ⟹  x=182x - 15 = x + 3 \implies x = 18 elde edilir.
İçerisi pozitif veya sıfırken mutlak değer dışına aynen çıkar.
3
Mutlak değerli ifadenin içinin negatif olduğu durumu (2x−15<0  ⟹  x<7.52x - 15 < 0 \implies x < 7.5) inceleme
−(2x−15)=x+3  ⟹  −2x+15=x+3  ⟹  3x=12  ⟹  x=4-(2x - 15) = x + 3 \implies -2x + 15 = x + 3 \implies 3x = 12 \implies x = 4 elde edilir.
İçerisi negatifken mutlak değer dışına önüne eksi alarak çıkar.
4
Elde edilen köklerin doğruluğunu ve koşulları sağlayıp sağlamadığını kontrol etme
x=18≥−3x = 18 \geq -3 ve x=4≥−3x = 4 \geq -3 olduğundan her iki değer de geçerlidir.
Bulunan her iki değer de hem başlangıçta belirlenen x≥−3x \geq -3 koşulunu hem de kendi bölgelerini doğrular.
5
Geçerli köklerin toplamını hesaplama
18+4=2218 + 4 = 22
Soru gökünde bizden farklı xx değerlerinin toplamı istenmiştir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir denklemin çözüm kümesi bulunurken, mutlak değerli ifade dışarıya bir pozitif bir de negatif işaretli olarak çıkarılarak iki ayrı denklem çözülür. Elde edilen değerlerin mutlak değerin tanımı gereği eşitliğin diğer tarafını negatif yapmadığı kontrol edilmelidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru