Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri

Bir laboratuvardaki hassas termometre, bir deney kabının sıcaklığını günün üç farklı saatinde sırasıyla aa, bb ve cc °C olarak ölçmüştür.

Sıcaklık değerleriyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* aa bir negatif tam sayıdır (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-).
* bb bir rasyonel sayı olup tam sayı değildir (b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}).
* cc bir pozitif tam sayıdır (c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+).

Bu sıcaklık değerleri arasında
a⋅b=6a \cdot b = 6
b+c=55b + c = 5{}5

bağıntıları olduğuna göre, a+ca + c toplamının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -6
  2. B
    3
  3. -3Cevap
  4. D
    0
  5. E
    25

Cevap

Sıcaklık değerlerinin toplamı olan -3
Doğru yanıt olan -3 değeri, denklem sistemini sağlayan tüm koşulların (a∈Z−a \in \mathbb{Z}^-, b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+) doğru analiz edilmesiyle elde edilir. Bu koşullara uygun olarak bb sayısının ondalık kısmı 050{}5 olmak zorundadır. a⋅b=6a \cdot b = 6 eşitliği kullanıldığında aa negatif tam sayısının alabileceği değerler −12-12 ve −4-4 olarak bulunur. Bu değerlere karşılık gelen cc değerleri sırasıyla 66 ve 77 olup, a+ca+c toplamları −6-6 ve 33 bulunur. Bu değerlerin toplamı −3-3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
b sayısının biçimini belirleme
b+c=55b + c = 5{}5 ve c∈Z+c \in \mathbb{Z}^+ olduğundan b=55−cb = 5{}5 - c olur. cc bir tam sayı olduğundan bb rasyonel sayısının ondalık kısmı mutlaka 050{}5 olmalıdır. Yani b=p2b = \frac{p}{2} formundadır (burada pp tek bir tam sayıdır).
cc tam sayı olduğu için bb sayısı yarı-tam (ondalık kısmı 0,5 olan) bir sayı olmak zorundadır.
2
a ve b bağıntısını kullanarak olası değerleri bulma
a⋅b=6  ⟹  a⋅p2=6  ⟹  a⋅p=12a \cdot b = 6 \implies a \cdot \frac{p}{2} = 6 \implies a \cdot p = 12 elde edilir. a∈Z−a \in \mathbb{Z}^- olduğundan hem aa hem de pp negatif olmalıdır. pp tek sayı olduğundan, 1212 sayısının negatif tek bölenleri p=−1p = -1 veya p=−3p = -3 olabilir.
aa tam sayısı negatif olduğu için çarpımı 1212 yapan negatif tek tam sayı bölenlerini ararız.
3
Her iki durum için a, b ve c değerlerini hesaplayıp a + c toplamını bulma
1. Durum: p=−1p = -1 ise a=−12a = -12 olur. b=−05b = -0{}5 olur. Bu durumda c=55−(−05)=6c = 5{}5 - (-0{}5) = 6 (pozitif tam sayıdır). Buradan a+c=−12+6=−6a + c = -12 + 6 = -6 elde edilir.
2. Durum: p=−3p = -3 ise a=−4a = -4 olur. b=−15b = -1{}5 olur. Bu durumda c=55−(−15)=7c = 5{}5 - (-1{}5) = 7 (pozitif tam sayıdır). Buradan a+c=−4+7=3a + c = -4 + 7 = 3 elde edilir.
Olası pp değerlerine göre denklem sisteminin tüm değişkenlerini bulmak ve istenen toplamı hesaplamak için.
4
Bulunan toplamların genel toplamını alma
a+ca + c toplamının alabileceği farklı değerler −6-6 ve 33 olup, bunların toplamı −6+3=−3-6 + 3 = -3 bulunur.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin tanımları ve elemanlarının özelliklerinin denklem çözümlerinde sınırlandırıcı olarak kullanılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru