Gerçel sayılardan oluşan sonlu bir S kümesiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir: * S küme… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılardan oluşan sonlu bir $S$ kümesiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:
* $S$ kümesinin eleman sayısı çift sayıdır ve bu sayı $20$ ile $40$ arasındadır.
* Kümedeki irrasyonel sayıların sayısı, tam sayı olmayan rasyonel sayıların sayısının $2$ katıdır.
* Kümedeki rasyonel sayıların sayısı, pozitif olmayan tam sayıların sayısının $3$ katıdır.
* Kümedeki pozitif tam sayıların sayısı $6$ 'dır.

Buna göre, $S$ kümesinde en az kaç tane negatif sayı vardır?

Cevap: 5

Cevap

S kümesinde en az 5 tane negatif sayı vardır.

S kümesinde bulunan gruplardan sadece pozitif olmayan tam sayılar grubu negatif eleman barındırmak zorundadır. Bu gruptaki 6 elemanın en fazla 1 tanesi sıfır olabileceğinden geriye kalan en az 5 eleman negatif olmak zorundadır. Diğer rasyonel ve irrasyonel grupların tamamı pozitif seçilerek negatif sayı sayısı en aza indirgenmiştir.

Adım Adım Çözüm

Kümedeki elemanları sayı kümelerine göre gruplandırıp değişken tanımlayalım.

S kümesindeki eleman sayıları; pozitif tam sayılar i��in

a = 6

, pozitif olmayan tam sayılar için

b

, tam sayı olmayan rasyonel sayılar için

c

ve irrasyonel sayılar için

d

olsun.

Soruda verilen sayı kümeleri arasındaki ilişkileri matematiksel denklemlere dönüştürebilmek için.

Verilen ilişkileri kurarak

b

d

değişkenlerini

c

cinsinden ifade edelim.

İrrasyonel sayılar

d = 2c

olur. Rasyonel sayılar kümesi tam sayılar ile tam sayı olmayan rasyonel sayıların birleşimi olduğundan rasyonel sayı say��sı

a + b + c = 6 + b + c

olur. Bu sayı

3b

değerine eşit olduğuna göre;

6 + b + c = 3b \implies 2b = c + 6 \implies b = \frac{c+6}{2}

elde edilir.

Tüm alt grupların eleman sayılarını tek bir bilinmeyene indirgemek için.

Toplam eleman sayısı

|S|

ifadesini bulup sınır koşullarına göre bilinmeyenleri netleştirelim.

|S| = a + b + c + d = 6 + \frac{c+6}{2} + c + 2c = 9 + 3,5c

olur.

b

bir tam sayı olmak zorunda olduğundan

c

çift sayı olmalıdır.

c = 2k

yazarsak

|S| = 9 + 7k

olur.

|S|

çift sayı olduğu için

7k

tek, yani

k

tek sayı olmalıdır.

k \in \{1, 3, 5, \dots\}

için

|S|

sırasıyla

16, 30, 44, \dots

olur.

20 < |S| < 40

koşulunu sağlayan tek değer

|S| = 30

(ve

k=3

) olarak bulunur.

Kümenin eleman sayısının çift olması ve verilen aralıkta yer alması koşullarını sağlayan benzersiz çözüme ulaşmak için.

Bulunan

k

değerine göre alt küme eleman sayılarını hesaplayıp minimum negatif sayı miktarını belirleyelim.

k = 3

için

c = 6

b = 6

d = 12

a = 6

olur. Negatif sayıları minimize etmek için irrasyonel (

12

adet) ve tam sayı olmayan rasyonel (

6

adet) sayıların tamamını pozitif seçeriz. Pozitif tam sayılar (

6

adet) zaten pozitiftir. Pozitif olmayan tam sayılar (

b=6

) içinden sadece bir eleman

0

(sıfır) olabileceğinden (elemanlar birbirinden farklıdır), en az

6 - 1 = 5

eleman negatif olmak zorundadır.

Sıfır sayısının işaretsiz (nötr) olmasını ve kümedeki tüm elemanların benzersiz olmasını dikkate alarak negatif eleman sayısını en aza indirmek için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin alt küme ilişkileri, rasyonel/irrasyonel ve tam sayı tanımları ile sıfırın işaretsiz olma özelliği.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru