Examkin

Soru

Zorluk: OrtaPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bir P(x)P(x) polinomu için,

* P(x+2)P(x+2) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 99,
* P(x−1)P(x-1) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan 55

olduğu biliniyor.

Buna göre, P(x)P(x) polinomunun x2−4x+3x^2 - 4x + 3 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 2x+32x + 3Cevap
  2. B
    −2x+11-2x + 11
  3. C
    x2−4x+8x^2 - 4x + 8
  4. D
    3x+23x + 2
  5. E
    2x+52x + 5

Cevap

İstenen kalan polinomu 2x+32x + 3 ifadesidir.
Polinom bölme ve kalan bulma kuralları uygulandığında P(3)=9P(3)=9 ve P(1)=5P(1)=5 eşitlikleri elde edilir. Kalan polinomu K(x)=ax+bK(x) = ax+b biçiminde yazılıp bu değerler yerine konduğunda oluşan iki bilinmeyenli denklem sisteminden a=2a=2 ve b=3b=3 bulunarak kalan 2x+32x+3 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P(x+2)P(x+2) ve P(x−1)P(x-1) polinomlarının verilen bölenlere göre kalan değerleri belirlenir.
P(x+2)P(x+2) polinomunun x−1x-1 ile bölümünden kalan 99 ise, bölme kuralı gereği x−1=0  ⟹  x=1x-1=0 \implies x=1 değeri polinomda yerine yazılır ve P(1+2)=P(3)=9P(1+2) = P(3) = 9 elde edilir. Benzer şekilde, P(x−1)P(x-1) polinomunun x−2x-2 ile bölümünden kalan 55 ise, x−2=0  ⟹  x=2x-2=0 \implies x=2 değeri yerine yazılır ve P(2−1)=P(1)=5P(2-1) = P(1) = 5 elde edilir.
Bölme işleminde kalanı bulmak için bölen sıfıra eşitlenerek elde edilen değişken değeri polinomda yerine yazılır.
2
Bölen polinom çarpanlarına ayrılarak bölme özdeşliği kurulur ve kalan polinomun genel biçimi yazılır.
Bölen polinom x2−4x+3=(x−3)(x−1)x^2 - 4x + 3 = (x-3)(x-1) şeklinde çarpanlarına ayrılır. İkinci dereceden bir bölme işleminde kalan en fazla birinci dereceden olabileceğinden kalan polinomu K(x)=ax+bK(x) = ax + b şeklinde seçilir. Bölme özdeşliği: P(x)=(x−3)(x−1)⋅Q(x)+ax+bP(x) = (x-3)(x-1) \cdot Q(x) + ax + b olur.
Kalan polinomunun derecesi, bölen polinomun derecesinden daima küçük olmalıdır.
3
Elde edilen P(3)=9P(3) = 9 ve P(1)=5P(1) = 5 değerleri bölme özdeşliğinde yerine yazılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur.
x=3x = 3 için: P(3)=0⋅Q(3)+3a+b  ⟹  3a+b=9P(3) = 0 \cdot Q(3) + 3a + b \implies 3a + b = 9 olur. x=1x = 1 için: P(1)=0⋅Q(1)+a+b  ⟹  a+b=5P(1) = 0 \cdot Q(1) + a + b \implies a + b = 5 olur.
Bölenin kökleri bölme özdeşliğinde yazıldığında bölüm kısmını sıfırlayarak doğrudan kalan katsayılarına ulaşmamızı sağlar.
4
Oluşan denklem sistemi çözülerek aa ve bb katsayıları bulunur.
3a+b=93a + b = 9 denkleminden a+b=5a + b = 5 denklemi taraf tarafa çıkarılırsa: 2a=4  ⟹  a=22a = 4 \implies a = 2 bulunur. a+b=5  ⟹  2+b=5  ⟹  b=3a + b = 5 \implies 2 + b = 5 \implies b = 3 elde edilir. Bu durumda kalan K(x)=2x+3K(x) = 2x + 3 olur.
Bilinmeyen katsayıları bularak kalan polinomunu tam olarak belirlemek için denklem sistemi çözülür.

Anahtar Kavram

Polinomlarda ikinci dereceden bir ifadeye bölme işleminde kalan polinomunun bulunması
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bu konudan daha fazla soru