x, y ve z birer gerçel sayı olmak üzere, I. x \cdot y rasyonel sayı ise x ve y rasyonel sa… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

$x$ , $y$ ve $z$ birer gerçel sayı olmak üzere,

I. $x \cdot y$ rasyonel sayı ise $x$ ve $y$ rasyonel sayıdır.
II. $x + y$ rasyonel sayı ve $y + z$ rasyonel sayı ise $x - z$ rasyonel sayıdır.
III. $x^2$ irrasyonel sayı ise $x$ irrasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

A
Yalnız II
B
I ve II
II ve IIICevap
D
Yalnız I
E
I, II ve III

Cevap

II ve III

İkinci öncülde verilen iki rasyonel ifadenin farkı olan x - z değeri, iki rasyonel sayının farkı rasyonel olduğundan her zaman rasyoneldir. Üçüncü öncülde ise rasyonel bir sayının karesi rasyonel olmak zorunda olduğundan, karesi irrasyonel olan bir gerçel sayı kendisi de irrasyoneldir. Bu yüzden II ve III ifadeleri her zaman doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Birinci öncülün doğruluğunu kontrol etmek için bir aksine örnek (karşı örnek) arayalım.

x = \sqrt{2}

y = \sqrt{2}

(ikisi de irrasyonel) seçilirse,

x \cdot y = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2

rasyonel sayısı elde edilir. Ancak

x

y

rasyonel değildir.

Çarpımları rasyonel olan ama kendileri irrasyonel olan sayıların varlığı, bu ifadenin her zaman doğru olmadığını gösterir.

İkinci öncüldeki rasyonel ifadeleri deği��kenler tanımlayarak analiz edelim.

x + y = q_1

y + z = q_2

olsun (

q_1, q_2

rasyonel sayılardır). İlk eşitlikten ikinci eşitliği çıkardığımızda

(x + y) - (y + z) = x - z = q_1 - q_2

elde edilir.

İki rasyonel sayının farkı her zaman rasyonel olduğundan (

q_1 - q_2 \in \mathbb{Q}

x - z

ifadesi de her zaman rasyoneldir.

Üçüncü öncülü çelişkiyle kanıtlama (olmayana ergi) yöntemi kullanarak inceleyelim.

Kabul edelim ki

x

bir rasyonel sayı olsun. Bu durumda rasyonel iki sayının çarpımı rasyonel olacağından

x^2 = x \cdot x

ifadesinin de rasyonel olması gerekir. Ancak

x^2

irrasyonel olarak verilmiştir. Bu bir çelişkidir.

Varsayımımız yanlış olduğuna göre, karesi irrasyonel olan bir gerçel sayının kendisi de irrasyonel olmak zorundadır.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin işlemsel özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru