Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBirinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Bir sporcu, haftalık antrenman programında kardiyo egzersizlerine xx saat, ağırlık antrenmanlarına ise yy saat ayırmaktadır. Bu sporcunun antrenman süreleri (xx ve yy gerçek sayıları) ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:

* Ağırlık antrenmanı süresinin 6 saat eksiğinin −2-2 katı, kardiyo egzersizi süresinden büyüktür.
* Kardiyo egzersizi süresinin ağırlık antrenmanı süresinden farkı en az 2 saattir.
* Her iki antrenman türü için de sıfırdan fazla süre ayrılmıştır.

Buna göre, bu sporcunun antrenman sürelerini temsil eden (x,y)(x,y) gerçek sayı ikililerinin analitik düzlemde oluşturduğu bölgeyi tanımlayan eşitsizlik sistemi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    {x+2y>12x−y≥2x>0, y>0\begin{cases} x + 2y > 12 \\ x - y \ge 2 \\ x > 0, \ y > 0 \end{cases}
  2. B
    {x+2y≤12x−y>2x>0, y>0\begin{cases} x + 2y \le 12 \\ x - y > 2 \\ x > 0, \ y > 0 \end{cases}
  3. {x+2y<12x−y≥2x>0, y>0\begin{cases} x + 2y < 12 \\ x - y \ge 2 \\ x > 0, \ y > 0 \end{cases}Cevap
  4. D
    {x+2y<12x−y≥2x,y∈Z+\begin{cases} x + 2y < 12 \\ x - y \ge 2 \\ x, y \in \mathbb{Z}^+ \end{cases}
  5. E
    {x+2y≤12x−y≥2x>0, y>0\begin{cases} x + 2y \le 12 \\ x - y \ge 2 \\ x > 0, \ y > 0 \end{cases}

Cevap

İlk koşulun −2(y−6)>x  ⟹  x+2y<12-2(y - 6) > x \implies x + 2y < 12 şeklinde düzenlenmesi, ikinci koşulun x−y≥2x - y \ge 2 olarak yazılması ve sürelerin pozitif gerçek sayılar olması sebebiyle x>0,y>0x > 0, y > 0 sınırlarının eklenmesiyle elde edilen eşitsizlik sistemidir.
Doğru olan eşitsizlik sistemi, sözel koşulların matematiksel olarak hatasız bir şekilde ifade edilmesiyle elde edilir. İlk koşul olan −2(y−6)>x-2(y-6) > x eşitsizliği düzenlendiğinde x+2y<12x + 2y < 12 biçimine gelir ve sınır değeri dahil edilmediği için kesikli çizgiyi ifade eder. İkinci koşul x−y≥2x - y \ge 2 biçimindedir ve sınır değeri dahil olduğundan düz çizgiyi ifade eder. Değişkenlerin pozitif gerçek sayılar olması ise x>0x > 0 ve y>0y > 0 şeklinde gösterilir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk sözel ifadeyi matematiksel eşitsizliğe dönüştürmek ve düzenlemek.
Ağırlık antrenmanı süresi yy saatin 6 saat eksiğinin −2-2 katı: −2(y−6)-2(y-6) olur. Bu değer kardiyo süresi olan xx'ten fazla olduğundan −2(y−6)>x-2(y-6) > x elde edilir. Parantezi açarsak −2y+12>x-2y + 12 > x olur. İfadeyi düzenlemek için her iki tarafa 2y2y eklediğimizde x+2y<12x + 2y < 12 eşitsizliğine ulaşırız. Burada negatif sayı ile işlem yapıldığında eşitsizlik yönüne dikkat edilmelidir.
Birinci koşulu analitik düzlemde ifade edilebilecek standart forma getirmek.
2
İkinci sözel ifadeyi eşitsizlik olarak yazmak.
Kardiyo süresinin (xx), ağırlık süresinden (yy) farkı en az 2 saattir ifadesi x−y≥2x - y \ge 2 şeklinde yazılır. 'En az' ifadesi dahil olma belirttiği için sınır çizgisi düz (kesiksiz) çizgi olacaktır.
İkinci koşulun sınır ve dahiliyet durumunu belirlemek.
3
Tanım kümelerini ve pozitiflik şartını belirlemek.
Antrenman süreleri gerçek sayılar olup sıfırdan büyük olmalıdır. Bu durum x>0x > 0 ve y>0y > 0 olarak sisteme eklenir. Tanım kümesinin gerçek sayılar olması nedeniyle koordinat düzlemindeki tüm noktalar çözüme dahildir.
Gerçek hayat senaryosundaki fiziksel sınırlamaları ve sayı kümelerini sisteme dahil etmek.

Anahtar Kavram

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemlerinin Kurulması ve Yorumlanması
Bu soruyu puanla

Konular

Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Eşitsizlik Sistemleri

Bu konudan daha fazla soru