Gerçek sayılar kümesinde tanımlı |x^2 - 4x| = |x - 4| denkleminin çözüm kümesi 3 elemanlıd… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı $|x^2 - 4x| = |x - 4|$ denkleminin çözüm kümesi 3 elemanlıdır.

Cevap: Cevap

İfade doğrudur; çünkü verilen denklemin çözüm kümesi

\{-1, 1, 4\}

olmak üzere tam olarak 3 elemandan oluşmaktadır.

İfadenin doğru olmasının nedeni, denklemi sağlayan köklerin x = 4, x = 1 ve x = -1 olmak üzere 3 tane olması ve çözüm kümesinin 3 elemanlı olmasıdır.

Denklemin her iki yanındaki mutlak değerli ifadeleri çarpanlarına ayırarak ortak terimi belirleyin.

|x(x-4)| = |x-4| \Rightarrow |x| \cdot |x-4| = |x-4|

Ortak bir çarpan elde ederek denklemi daha basit hale getirmek.

Ortak çarpan olan

|x-4|

ifadesini sıfır yapan değeri inceleyin.

x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4

kökü bulunur.

Her iki tarafı sadeleştirmeden önce, sadeleştirilecek terimin sıfır olma durumu denklemin bir kökünü verir.

x \neq 4

için her iki tarafı

|x-4|

ile sadeleştirerek kalan denklemi çözün.

|x| = 1 \Rightarrow x = 1

veya

x = -1

Sıfırdan farklı ortak terimler sadeleştirilerek bilinmeyen diğer kökler tespit edilir.

Bulunan tüm kökleri bir araya getirerek çözüm kümesini yazın.

Çözüm kümesi

\{-1, 1, 4\}

olup eleman sayısı 3'tür.

Denklemi sağlayan tüm gerçek sayı değerlerinin kümesini belirlemek.

Mutlak değerli denklemlerde ortak çarpan parantezine alma ve sadeleştirme yaparken kök kaybetmeme kuralı.

Denklemin her iki tarafının karesi alınarak da çözüme ulaşılabilir:

(x^2 - 4x)^2 = (x - 4)^2 \Rightarrow [x(x-4)]^2 - (x-4)^2 = 0 \Rightarrow (x-4)^2 (x^2 - 1) = 0

. Buradan

(x-4)^2 = 0 \Rightarrow x=4

x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x=1

veya

x=-1

elde edilir. Bu yöntem mutlak değerlerin dışarı nasıl çıkacağını düşünme zorunluluğunu ortadan kaldırır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru