Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme
Elemanları sayılardan ve kümelerden oluşan bir KK kümesi
K={1,2,3,{1},{2},{1,2},{1,3},{2,4}}K = \{ 1, 2, 3, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 4\} \}
biçiminde tanımlanıyor. Bu kümenin alt kümelerinden biri olan XX kümesi için aşağıdaki koşullar verilmiştir:
* XX kümesinin her elemanı KK kümesinin bir alt kümesidir.
* XX kümesinin alt küme sayısı 8'dir.

Buna göre, bu koşulları sağlayan kaç farklı XX kümesi tanımlanabilir?

  1. A
    2
  2. 4Cevap
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    10

Cevap

4 farklı X kümesi tanımlanabilir.
K kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan elemanlar {1}\{1\}, {2}\{2\}, {1,2}\{1, 2\} ve {1,3}\{1, 3\} olmak üzere 4 tanedir. Alt küme sayısı 8 olan bir X kümesinin eleman sayısı 3 olmalıdır. Bu 4 eleman arasından 3 elemanlı bir küme (43)=4\binom{4}{3} = 4 farklı şekilde seçilebilir. Dolayısıyla doğru yanıt 4'tür.

Adım Adım Çözüm

1
K kümesinin elemanlarını ve eleman sayısını belirleme
K={1,2,3,{1},{2},{1,2},{1,3},{2,4}}K = \{ 1, 2, 3, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 4\} \} kümesinin elemanları 1,2,3,{1},{2},{1,2},{1,3},{2,4}1, 2, 3, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\}, \{2, 4\} olup eleman sayısı s(K)=8s(K) = 8'dir.
Soruda verilen koşulları uygulamak için öncelikle kümenin eleman yapısını tam olarak anlamak gerekir.
2
K kümesinin hem elemanı hem de alt kümesi olan elemanları bulma
y∈Ky \in K iken y⊂Ky \subset K koşulunu sağlayan elemanlar aranır. Sayı olan 1,2,31, 2, 3 elemanları küme olmadığından alt küme olamazlar. Küme parantezli elemanlar incelendiğinde; {1}⊂K\{1\} \subset K (çünkü 1∈K1 \in K), {2}⊂K\{2\} \subset K (çünkü 2∈K2 \in K), {1,2}⊂K\{1, 2\} \subset K (çünkü 1∈K1 \in K ve 2∈K2 \in K) ve {1,3}⊂K\{1, 3\} \subset K (çünkü 1∈K1 \in K ve 3∈K3 \in K) koşulları sağlanır. Ancak {2,4}\{2, 4\} elemanı için 4∉K4 \notin K olduğundan {2,4}⊂K\{2, 4\} \subset K ifadesi yanlıştır. Bu koşulu sağlayan elemanların kümesi S={{1},{2},{1,2},{1,3}}S = \{ \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}, \{1, 3\} \} olup s(S)=4s(S) = 4'tür.
X kümesinin elemanlarının K'nin alt kümesi olması koşulunu sağlayan aday elemanları belirlemek gerekir.
3
X kümesinin eleman sayısını bulma
XX kümesinin alt küme sayısı 8 olarak verilmiştir. Alt küme sayısı 2n2^n formülüyle hesaplandığından 2s(X)=8  ⟹  s(X)=32^{s(X)} = 8 \implies s(X) = 3 bulunur.
X kümesinin kaç elemanlı olması gerektiğini belirlemek için alt küme sayısı bilgisini kullanırız.
4
Koşulları sağlayan farklı X kümelerinin sayısını hesaplama
s(S)=4s(S) = 4 elemanlı SS kümesinden 33 elemanlı XX kümeleri seçilecektir. Bu seçimlerin sayısı kombinasyon formülü ile (43)=4\binom{4}{3} = 4 olarak hesaplanır.
4 elemanlı bir kümeden seçilebilecek 3 elemanlı farklı alt kümelerin sayısını bulmak için kombinasyon uygulanır.

Anahtar Kavram

Bir kümenin elemanı olma ile alt kümesi olma kavramlarının ayırt edilmesi ve alt küme sayısı hesabı
Bu soruyu puanla

Konular

Kümelerde Temel Kavramlar ve Alt Küme

Bu konudan daha fazla soru