İki basamaklı AB ve BA doğal sayılarının farkı, bu sayıların rakamları toplamının bir tam … — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

İki basamaklı $AB$ ve $BA$ doğal sayılarının farkı, bu sayıların rakamları toplamının bir tam sayı katıdır.

$A > B$ olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı $AB$ doğal sayısı vardır?

Koşulu sağlayan 8 farklı AB doğal sayısı vardır.

Doğru cevap 8'dir. Basamak çözümlemesi ve oran analizi yapıldığında,

A > B \ge 1

koşulu altında denklemi sağlayan

AB

sayıları 21, 42, 51, 54, 63, 72, 81 ve 84 olmak üzere tam olarak 8 tanedir.

AB

BA

iki basamaklı sayıları için basamak çözümlemesi yapılarak farkları bulunur.

AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9(A - B)

Sayıların basamak değerlerini çözümleyip fark ifadesini sadeleştirmek için.

Bu farkın, rakamlar toplamı olan

A + B

ifadesinin bir

k

tam sayı katı olduğu denklem kurulur.

9(A - B) = k(A + B)

(burada

k

pozitif bir tam sayıdır, çünkü

A > B \implies A - B > 0

)

Soruda verilen kat olma koşulunu matematiksel eşitliğe dönüştürmek için.

Elde edilen denklem düzenlenerek rakamlar arasındaki oran yalnız bırakılır.

9A - 9B = kA + kB \implies (9 - k)A = (9 + k)B \implies \frac{B}{A} = \frac{9 - k}{9 + k}

Farklı

k

değerlerine karşılık gelen rakam çiftlerini bulmayı kolaylaştırmak için.

A

B

birer rakam (

1 \le A, B \le 9

) ve

A > B

koşulu altında mümkün olan

k

değerleri denenir.

k=1 \implies \frac{B}{A} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} \implies (A,B) = (5,4) \implies AB = 54

k=3 \implies \frac{B}{A} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \implies (A,B) \in \{(2,1), (4,2), (6,3), (8,4)\} \implies AB \in \{21, 42, 63, 84\}

k=5 \implies \frac{B}{A} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} \implies (A,B) = (7,2) \implies AB = 72

k=6 \implies \frac{B}{A} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} \implies (A,B) = (5,1) \implies AB = 51

k=7 \implies \frac{B}{A} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8} \implies (A,B) = (8,1) \implies AB = 81

Diğer

k

değerleri için rakam şartı sağlanmaz. Toplamda 8 farklı değer elde edilir.

Sınır koşullarına uyan tüm basamak değerlerini ve sayıları belirlemek için.

İki basamaklı sayıların çözümlenmesi ve basamak değerlerinin oranlanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru