Examkin

Soru

Zorluk: ZorArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir tiyatro salonundaki koltuklar, en önden arkaya doğru sırasıyla 1. sıra, 2. sıra, ... şeklinde sıralanmıştır. Bu salonla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* 1. sıradaki koltuk sayısı xx'tir.
* Arkaya doğru gidildikçe her sıradaki koltuk sayısı, bir önceki sıradaki koltuk sayısından 33 fazladır.
* Salondaki toplam koltuk sayısı 285285'tir.
* En son sıradaki koltuk sayısı, ilk sıradaki koltuk sayısının 33 katından 33 eksiktir.

Buna göre, bu salonda toplam kaç sıra koltuk vardır?

  1. A
    8
  2. 10Cevap
  3. C
    12
  4. D
    15
  5. E
    18

Cevap

10
Tiyatro salonundaki koltuk sayıları ardışık olarak her sırada 3 artmaktadır. İlk sıradaki koltuk sayısı xx, sıra sayısı nn olmak üzere son sıradaki koltuk sayısı x+3(n−1)x + 3(n-1) olur. Bu değer 3x−33x - 3'e eşitlendiğinde 2x=3n2x = 3n bağıntısı bulunur. Toplam koltuk sayısı ise ilk ve son terimin toplamının yarısı ile terim sayısının çarpımıdır. Buradan n(4x−3)2=285  ⟹  n(4x−3)=570\frac{n(4x-3)}{2} = 285 \implies n(4x-3) = 570 elde edilir. 2x=3n  ⟹  4x=6n2x = 3n \implies 4x = 6n dönüşümü yapıldığında n(6n−3)=570  ⟹  n(2n−1)=190n(6n-3) = 570 \implies n(2n-1) = 190 bulunur. 190190 sayısı 10×1910 \times 19 şeklinde çarpanlarına ayrıldığından, n=10n = 10 pozitif tam sayı değeri denklemi sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Sıralardaki koltuk sayılarını temsil eden aritmetik dizinin terimlerini yazalım.
1. sırada xx koltuk varsa, her sıra bir öncekinden 33 fazla oldu��undan nn. sıradaki koltuk sayısı x+3(n−1)x + 3(n-1) olur.
Sıralardaki koltuk sayılarının artış miktarını matematiksel olarak ifade etmek için.
2
En son sıradaki koltuk sayısı ile ilk sıradaki koltuk sayısı arasındaki ilişkiyi kullanarak xx ile nn arasında bir bağıntı elde edelim.
x+3(n−1)=3x−3  ⟹  3n−3=2x−3  ⟹  2x=3nx + 3(n-1) = 3x - 3 \implies 3n - 3 = 2x - 3 \implies 2x = 3n elde edilir.
Son sıradaki koltuk sayısının ilk sıradakinin 3 katından 3 eksik olduğu bilgisini kullanmak için.
3
Toplam koltuk sayısı formülünü uygulayalım.
Sn=n⋅(a1+an)2=285  ⟹  n⋅(x+3x−3)2=285  ⟹  n(4x−3)=570S_n = \frac{n \cdot (a_1 + a_n)}{2} = 285 \implies \frac{n \cdot (x + 3x - 3)}{2} = 285 \implies n(4x - 3) = 570 olur.
Salondaki toplam koltuk sayısının 285 olduğu bilgisini aritmetik dizi toplamı ile eşitlemek için.
4
2x=3n2x = 3n bağıntısını toplam denkleminde yerine yazalım.
2x=3n  ⟹  4x=6n2x = 3n \implies 4x = 6n olduğundan, n(6n−3)=570  ⟹  3n(2n−1)=570  ⟹  n(2n−1)=190n(6n - 3) = 570 \implies 3n(2n - 1) = 570 \implies n(2n - 1) = 190 elde edilir.
İki bilinmeyenli denklemi tek bilinmeyene indirgeyerek çözüme ulaşmak için.
5
nn pozitif bir tam sayı olduğundan 190190 sayısının ardışık çarpanlarını inceleyelim.
190=10×19190 = 10 \times 19 olduğundan n=10n = 10 için 2n−1=192n - 1 = 19 eşitliği sağlanır. Dolayısıyla tiyatro salonunda 10 sıra koltuk vardır.
Elde edilen ikinci dereceden tam sayı denklemini çarpanlara ayırma yöntemiyle çözmek için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayı dizilerinde terim sayısı ve toplam formülleri kullanılarak denklem kurma ve çözme.
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru