Examkin

Soru

Zorluk: ZorBasamak Analizi ve Çözümleme
Dört basamaklı ABCDABCD ve BCDABCDA doğal sayıları için,
ABCD−BCDA=3267ABCD - BCDA = 3267
eşitliği sağlanmaktadır.

Buna göre, bu koşulu sağlayan ve rakamları birbirinden farklı olan ABCDABCD sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevap: 17

Cevap

Koşulları sağlayan ABCDABCD sayısı 51925192 olup, rakamları toplamı 17'dir.
Çözümleme sonucunda ulaşılan 111A−BCD=363111A - BCD = 363 denkleminde, BCDABCDA sayısının dört basamaklı olması gereğiyle B≠0B \neq 0 ve ABCDABCD sayısının rakamlarının farklı olması kısıtları uygulandığında, koşula uygun tek sayının ABCD=5192ABCD = 5192 olduğu görülür. Bu sayının rakamları toplamı 17 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Dört basamaklı ABCDABCD ve BCDABCDA sayılarının basamak çözümlemesini yapın.
ABCD=1000A+100B+10C+DABCD = 1000A + 100B + 10C + D ve BCDA=1000B+100C+10D+ABCDA = 1000B + 100C + 10D + A denklemleri elde edilir.
Sayılar arasındaki çıkarma işlemini gerçekleştirebilmek ve basamaklar arasındaki cebirsel ilişkiyi kurmak amacıyla çözümleme yapılır.
2
Verilen ABCD−BCDA=3267ABCD - BCDA = 3267 eşitliğinde çözümleme sonuçlarını yerine yazarak denklemi sadeleştirin.
999A−900B−90C−9D=3267999A - 900B - 90C - 9D = 3267 olur. Her iki tarafı 9 ile böldüğümüzde 111A−(100B+10C+D)=363111A - (100B + 10C + D) = 363 yani 111A−BCD=363111A - BCD = 363 elde edilir.
Denklemi ortak çarpan parantezine alarak daha basit bir katsayı ilişkisi kurmak ve BCDBCD üç basamaklı sayısını tek bir bütün olarak incelemek çözümü kolaylaştırır.
3
BCD=111A−363BCD = 111A - 363 eşitliğinde AA rakamının alabileceği değerleri, rakamların farklı olması ve B≠0B \neq 0 koşullarına göre test edin.
A≤3A \le 3 için BCDBCD negatif olur. A=4A=4 için BCD=081BCD=081 olur fakat BCDABCDA dört basamaklı olduğundan B≠0B \neq 0 olmalıdır. A=5A=5 için BCD=192BCD=192 olur ve ABCD=5192ABCD=5192 elde edilir (tüm rakamlar farklıdır). A≥6A \ge 6 değerleri için BCD=111A−363=100(A−3)+10(A−6)+(A−3)BCD = 111A - 363 = 100(A-3) + 10(A-6) + (A-3) formundan ötürü her zaman B=D=A−3B=D=A-3 eşitliği oluşur ve rakamlar farklı olamaz.
BCDABCDA sayısının en büyük basamağındaki rakam olan BB sıfır olamayacağı için A=4A=4 elenir. Rakamların farklı olması istendiği için B=DB=D eşitliğine yol açan A≥6A \ge 6 durumları elenir. Bu sayede tek geçerli çözüm belirlenir.
4
Koşulları sağlayan ABCD=5192ABCD = 5192 sayısının rakamları toplamını hesaplayın.
5+1+9+2=175 + 1 + 9 + 2 = 17 elde edilir.
Soruda istenen nihai sonuca ulaşmak için bulunan rakamlar toplanır.

Anahtar Kavram

Çok basamaklı doğal sayıların basamak analizi yöntemiyle çözümlenmesi, basamak değeri kısıtlamaları (baş basamağın sıfır olamaması) ve basamaklar arası cebirsel denklemlerin çözümü.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru