Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri

Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
* a+ba + b rasyonel sayıdır.
* a⋅ca \cdot c irrasyonel sayıdır.
* b⋅cb \cdot c rasyonel sayıdır.

bilgileri veriliyor.

Buna göre;
I. aa irrasyonel sayıdır.
II. cc irrasyonel sayıdır.
III. a⋅ba \cdot b rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur. Verilen koşullarda c sayısının rasyonel olduğu kabul edilirse a, b ve a * c sayılarının tamamının rasyonel olması gerektiği çelişkisine ulaşılır. Bu yüzden c ve dolayısıyla b ile a sayıları da irrasyonel olmak zorundadır. Ancak toplamları rasyonel olan iki irrasyonel sayının çarpımı rasyonel de irrasyonel de olabileceğinden üçüncü ifade her zaman doğru değildir.

Adım Adım Çözüm

1
c sayısın��n rasyonel veya irrasyonel olma durumu çelişki yöntemiyle incelenir.
c sayısı rasyonel olsaydı, b * c rasyonel ve c sıfırdan farklı olduğundan b = (b * c) / c ifadesi de iki rasyonel sayının bölümü olarak rasyonel olmak zorundaydı. b rasyonel olduğunda, a + b rasyonel olduğundan a = (a + b) - b farkı da rasyonel olurdu. Bu durumda iki rasyonel sayının çarpımı olan a * c de rasyonel olurdu, fakat a * c'nin irrasyonel olduğu verilmiştir. Dolayısıyla c kesinlikle irrasyoneldir.
c sayısının kümesini belirlemek için rasyonel olduğu varsayılarak çelişki aranır.
2
b sayısının rasyonel veya irrasyonel olma durumu incelenir.
b sayısı rasyonel olsaydı, sıfırdan farklı b rasyonel sayısı ile irrasyonel c sayısının çarpımı olan b * c irrasyonel olmak zorundaydı. Ancak b * c'nin rasyonel olduğu verilmiştir. Bu bir çelişkidir, dolayısıyla b kesinlikle irrasyoneldir.
c'nin irrasyonel olduğu bilgisi kullanılarak b'nin kümesi belirlenir.
3
a sayısının rasyonel veya irrasyonel olma durumu incelenir.
b irrasyonel bir sayı ve a + b = q (q rasyonel) olduğuna göre, a = q - b olur. Rasyonel bir sayı ile irrasyonel bir sayının farkı irrasyonel olduğundan, a kesinlikle irrasyoneldir.
b'nin irrasyonelliği kullanılarak a'nın kümesi belirlenir.
4
a * b çarpımının rasyonellik durumu karşıt örneklerle test edilir.
a ve b irrasyonel sayılar olduğunda a * b çarpımı her zaman rasyonel olmak zorunda değildir. Örneğin, a = 3 - sqrt(2) ve b = sqrt(2) alındığında a + b = 3 (rasyonel), c = sqrt(2) için b * c = 2 (rasyonel), a * c = 3*sqrt(2) - 2 (irrasyonel) sağlanır fakat a * b = 3*sqrt(2) - 2 (irrasyonel) olur. Öte yandan, a = 1 - sqrt(2) ve b = 1 + sqrt(2) alındığında ise a * b = -1 (rasyonel) olur. Dolayısıyla III. ifade her zaman doğru değildir.
Her zaman doğruluk arandığı için iddiayı çürüten karşıt örnekler analiz edilir.

Anahtar Kavram

Rasyonel ve İrrasyonel Sayıların İşlem Altındaki Kapalılık Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru