Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir iş yerindeki kahve makinesinde sade, sütlü ve köpüklü olmak üzere üç farklı kahve seçeneği bulunmaktadır. Bu kahvelerin her bir bardağındaki kahve miktarı ve birer bardaklarının satış fiyatı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kahve SeçeneğiBir Bardaktaki Kahve Miktarı (ml)Bir Bardak Fiyatı (TL)
Sade3024
Sütlü4030
Köpüklü5035

Bu kahve makinesinden bir gün boyunca toplam 500500 ml kahve tüketen bir grup çalışan, her kahve seçeneğinden en az birer bardak satın almıştır.

Çalışanların bu kahveler için ödediği toplam tutar 367367 TL olduğuna göre, sütlü kahveden toplam kaç bardak satın alınmıştır?

  1. A
    3
  2. 4Cevap
  3. C
    5
  4. D
    9
  5. E
    14

Cevap

Sütlü kahveden satın alınan bardak sayısı 4'tür.
Kurulan denklemler sadeleştirildiğinde elde edilen 2y+5z=332y + 5z = 33 bağıntısında yy ve zz değerlerinin pozitif tam sayı olması koşulunu sağlayan tek zz tek sayısı 5'tir. Bu durumda sütlü kahve sayısı olan yy değeri 4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Sade, sütlü ve köpüklü kahve bardak sayılarını sırasıyla xx, yy ve zz değişkenleri ile tanımlayıp toplam kahve miktarı ve toplam ücret denklemlerini kurma.
Toplam miktar denklemi: 30x+40y+50z=500  ⟹  3x+4y+5z=5030x + 40y + 50z = 500 \implies 3x + 4y + 5z = 50 olur. Toplam ücret denklemi: 24x+30y+35z=36724x + 30y + 35z = 367 olur.
Problemdeki verileri iki bilinmeyenli veya üç bilinmeyenli Diophantine denklem sistemine dönüştürmek için.
2
Birinci denklemi 8 ile çarparak 24x24x terimini elde etme ve iki denklemi taraf tarafa çıkararak xx değişkenini yok etme.
24x+32y+40z=40024x + 32y + 40z = 400 denkleminden 24x+30y+35z=36724x + 30y + 35z = 367 denklemi çıkarıldığında 2y+5z=332y + 5z = 33 elde edilir.
Üç bilinmeyenli denklem sistemini iki bilinmeyene indirgeyerek çözümü kolaylaştırmak.
3
2y+5z=332y + 5z = 33 denkleminde yy ve zz değerlerinin pozitif tam sayı olma koşulunu kullanarak uygun değerleri belirleme.
2y2y çift sayı olduğundan 33−5z33 - 5z çift olmalı, yani zz tek sayı olmalıdır. y≥1y \ge 1 için z≤6z \le 6 olmalıdır. Buradan zz sadece 1, 3 veya 5 olabilir. z=5z = 5 için 2y=8  ⟹  y=42y = 8 \implies y = 4 bulunur. Bu değerler ana denklemde yerine yazıldığında 3x+4(4)+5(5)=50  ⟹  3x=9  ⟹  x=33x + 4(4) + 5(5) = 50 \implies 3x = 9 \implies x = 3 pozitif tam sayısı elde edilir. Diğer zz değerleri için xx pozitif tam sayı çıkmaz.
Bardak sayılarının pozitif tam sayı olma kısıtını uygulayarak tekil çözüme ulaşmak.

Anahtar Kavram

Diophantine (tam katsayılı) denklem sistemlerinin kurulması ve pozitif tam sayı kısıtları altında çözülmesi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru