Examkin

Soru

Zorluk: OrtaArdışık Sayılar ve Toplamları

Bir metro hattındaki duraklar, başlangıç durağından itibaren sırasıyla 1,2,3,…1, 2, 3, \dots şeklinde ardışık pozitif tam sayılarla numaralandırılmıştır. Bu metro hattındaki ardışık bir grup durağ��n numaraları toplamı 135135 olduğuna göre, bu gruptaki durak sayısı en fazla kaç olabilir?

  1. A
    9
  2. B
    10
  3. 15Cevap
  4. D
    18
  5. E
    27

Cevap

Ardışık sayıların toplamı ve terim sayısı arasındaki ilişkiden elde edilen en büyük geçerli terim sayısı 15'tir.
Ardışık sayıların toplam formülü düzenlendiğinde n(2x+n−1)=270n(2x+n-1)=270 elde edilir. Başlangıç terimi olan xx sayısı en az 1 olmalıdır, bu da 2x+n−1>n2x+n-1 > n eşitsizliğini gerektirir. Bu koşula uyan en büyük nn değeri 15'tir. Bu durumda ilk terim x=2x=2 olur ve pozitif tam sayı şartını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Ardışık sayı grubunun ilk terimini xx, terim sayısını ise nn olarak tanımlayıp toplam formülünü yazalım.
n⋅x+n(n−1)2=135n \cdot x + \frac{n(n-1)}{2} = 135 denklemi elde edilir.
Ardışık terimlerin toplamını cebirsel olarak ifade etmek için.
2
Elde edilen denklemi düzenleyerek çarpanlarına ayıralım.
2n⋅x+n(n−1)=270  ⟹  n(2x+n−1)=2702n \cdot x + n(n-1) = 270 \implies n(2x + n - 1) = 270 eşitliği bulunur.
Terim sayısı ile başlangıç terimi arasındaki ilişkiyi çarpanlar üzerinden incelemek için.
3
Durak numaralarının pozitif tam sayı olduğunu (x≥1x \geq 1) kullanarak nn değerinin sınırlarını belirleyelim ve 270'in çarpanlarını inceleyelim.
x≥1x \geq 1 olduğundan 2x+n−1≥n+12x + n - 1 \geq n + 1 olur. Bu durumda n(2x+n−1)=270n(2x + n - 1) = 270 eşitliğinde küçük olan çarpan nn, büyük olan çarpan 2x+n−12x + n - 1 olmalıdır. Buradan n2<270  ⟹  n<16,43n^2 < 270 \implies n < 16,43 elde edilir. 270'in 16,43'ten küçük en büyük böleni 15'tir. n=15n = 15 için 2x+14=18  ⟹  x=22x + 14 = 18 \implies x = 2 bulunur.
Pozitif tam sayılar kümesindeki sınırları göz önünde bulundurarak en büyük terim sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

Ardışık sayıların toplamı formülü ve terim sayısı analizi
Bu soruyu puanla

Konular

Ardışık Sayılar ve Toplamları

Bu konudan daha fazla soru