Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri

aa, bb, cc ve dd sıfırdan farklı gerçel sayılardır.

a∈Za \in \mathbb{Z}
b∈Q∖Zb \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
d∈Nd \in \mathbb{N}

olduğu bilinmektedir.

Buna göre;

I. a⋅ca \cdot c
II. b+cb + c
III. c2c^2
IV. ca+b\frac{c}{a + b}
V. c⋅(a+d)c \cdot (a + d)
VI. bd+c\frac{b}{d} + c

ifadelerinden kaç tanesinin değeri kesinlikle bir irrasyonel sayıdır?

Cevap: 4

Cevap

Verilen ifadelerden I, II, IV ve VI olmak üzere toplam 4 tanesinin değeri kesinlikle bir irrasyonel sayıdır.
I, II, IV ve VI numaralı ifadeler rasyonel ve irrasyonel sayıların temel aritmetik kuralları gereği her zaman irrasyonel sayı belirtir. III numaralı ifade kök derecesine bağlı olarak rasyonel değer alabilir. V numaralı ifade ise değişkenlerin zıt işaretli seçilmesi durumunda sıfıra eşitlenerek rasyonel değer alabilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin sayı kümelerini ve özelliklerini belirleme
aa s��fırdan farklı bir tam sayı (rasyonel), bb tam sayı olmayan bir rasyonel sayı, cc irrasyonel sayı ve dd sıfırdan farklı bir doğal sayı olduğundan pozitif bir tam sayıdır.
İfadelerin irrasyonel olma durumlarını doğru analiz edebilmek için her bir değişkenin ait olduğu kümeyi ve alabileceği değer sınırlarını netleştirmemiz gerekir.
2
I, II ve VI. ifadelerin analizi
I. a⋅ca \cdot c: Sıfırdan farklı rasyonel sayı ile irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyoneldir. II. b+cb + c: Rasyonel sayı ile irrasyonel sayının toplamı her zaman irrasyoneldir. VI. bd+c\frac{b}{d} + c: İki rasyonel sayının bölümü olan bd\frac{b}{d} rasyoneldir; rasyonel sayı ile irrasyonel cc sayısının toplamı her zaman irrasyoneldir.
Rasyonel ve irrasyonel sayı kümelerinin kapalılık özelliklerini uygularız.
3
III ve IV. ifadelerin analizi
III. c2c^2: c=2c = \sqrt{2} (irrasyonel) için c2=2c^2 = 2 (rasyonel) olur; fakat c=24c = \sqrt[4]{2} (irrasyonel) için c2=2c^2 = \sqrt{2} (irrasyonel) olur. Kesinlik yoktur. IV. ca+b\frac{c}{a+b}: aa tam sayı ve bb tam sayı olmayan rasyonel olduğundan toplamları a+ba+b rasyoneldir ve asla tam sayı (ve dolayısıyla 0) olamaz. İrrasyonel bir sayının sıfırdan farklı rasyonel bir sayıya bölümü her zaman irrasyoneldir.
Köklü ifadelerin kuvvetlerini ve paydanın sıfır olmama güvencesini inceleriz.
4
V. ifadenin analizi
V. c⋅(a+d)c \cdot (a + d): a∈Za \in \mathbb{Z} ve d∈Z+d \in \mathbb{Z}^+ olduğundan, a=−da = -d seçilebilir (örneğin a=−2a = -2 ve d=2d = 2). Bu durumda a+d=0a+d = 0 olur ve c⋅0=0c \cdot 0 = 0 (rasyonel sayı) elde edilir. Dolayısıyla kesinlikle irrasyonel değildir.
Zıt işaretli tam sayıların toplamının sıfır olabilme uç durumunu test ederiz.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru