Examkin

Soru

Zorluk: ZorAralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterim

Bir tarım laboratuvarında yetiştirilen özel bir bitki t��rünün gelişimi için ortamın nem oranı (NN) yüzde cinsinden incelenmektedir. Araştırmacılar bitkinin gelişimiyle ilgili şu bilgileri elde etmiştir:
- Bitkinin gövde gelişimi için uygun olan nem oranlarının oluşturduğu aralık AA kümesidir. Sayı doğrusunda AA kümesi; uç noktalarından −8-8 kapalı, 1212 açık olacak şekilde bu iki sayı arasındaki tüm gerçek sayıları içermektedir.
- Bitkinin çiçek açması için uygun olan nem oranlarının oluşturduğu aralık BB kümesidir. Sayı doğrusunda BB kümesi; uç noktalarından −3-3 açık, 1818 kapalı olacak şekilde bu iki sayı arasındaki tüm ger��ek sayıları içermektedir.

Bu bitki için gövde gelişimi veya çiçek açma süreçlerinden yalnızca birinin gerçekleştiği nem oranı değerlerinin kümesi KK olarak tanımlanıyor.

Buna göre, KK kümesinin aralık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    [−8,−3)∪(12,18][-8, -3) \cup (12, 18]
  2. B
    [−8,−3]∪(12,18][-8, -3] \cup (12, 18]
  3. [−8,−3]∪[12,18][-8, -3] \cup [12, 18]Cevap
  4. D
    [−8,−3)∪[12,18][-8, -3) \cup [12, 18]
  5. E
    [−8,18][-8, 18]

Cevap

[−8,−3]∪[12,18][-8, -3] \cup [12, 18] aralık birleşimi
Bitkinin gövde gelişimi veya çiçek açma süreçlerinden yalnızca birinin gerçekleşmesi durumu simetrik fark işlemi ile belirlenir. A=[−8,12)A = [-8, 12) ve B=(−3,18]B = (-3, 18] olmak üzere, K=(A∖B)∪(B∖A)K = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) kümesidir. A∖BA \setminus B bulunurken, −3-3 sayısı BB kümesinde bulunmadığı için fark kümesinde kalır ve bu sınır [−8,−3][-8, -3] kapalı aralığına dönüşür. Benzer şekilde, B∖AB \setminus A bulunurken 1212 sayısı AA kümesine dahil olmadığından fark kümesine dahil olur ve [12,18][12, 18] kapalı aralığı elde edilir. Bu iki aralığın birleşimi olan [−8,−3]∪[12,18][-8, -3] \cup [12, 18] kümesi doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB kümelerini aralık gösterimiyle ifade etmek.
A=[−8,12)A = [-8, 12) ve B=(−3,18]B = (-3, 18]
AA kümesinde −8-8 kapalı ve 1212 açık olduğundan yarı açık aralık [−8,12)[-8, 12) şeklinde; BB kümesinde −3-3 açık ve 1818 kapalı olduğundan yarı açık aralık (−3,18](-3, 18] şeklinde yazılır.
2
"Yalnızca birinin gerçekleştiği" durumları temsil eden küme işlemini belirlemek.
K=(A∖B)∪(B∖A)K = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
İki süreçten yalnızca birinin gerçekleşmesi durumu, birinci s��recin gerçekleşip ikincinin gerçekleşmediği (A∖BA \setminus B) ile ikinci sürecin gerçekleşip birincinin gerçekleşmediği (B∖AB \setminus A) durumların birleşimidir.
3
A∖BA \setminus B fark kümesini bulmak.
A∖B=[−8,−3]A \setminus B = [-8, -3]
[−8,12)[-8, 12) aralığında olup (−3,18](-3, 18] aralığında olmayan elemanlar [−8,−3][-8, -3] aralığıdır. Burada −3-3 sayısı BB kümesine dahil olmadığından (açık uç), fark kümesinde kalır ve sınır kapalı ([−3][-3]) olur.
4
B∖AB \setminus A fark kümesini bulmak.
B∖A=[12,18]B \setminus A = [12, 18]
(−3,18](-3, 18] aralığında olup [−8,12)[-8, 12) aralığında olmayan elemanlar [12,18][12, 18] aralığıdır. Burada 1212 sayısı AA kümesine dahil olmadığından (açık uç), fark kümesinde kalır ve sınır kapalı ([12][12]) olur.
5
Elde edilen fark kümelerini birleştirerek KK kümesini oluşturmak.
K=[−8,−3]∪[12,18]K = [-8, -3] \cup [12, 18]
Bulunan iki ayrık aralığın birleşimi alınarak nihai sonuç kümesi oluşturulur.

Anahtar Kavram

Aralıkların Fark�� ve Birleşimi

Alternatif Yöntem

KK kümesi, AA ve BB kümelerinin birleşiminden kesişimlerinin çıkarılmasıyla da bulunabilir: K=(A∪B)∖(A∩B)K = (A \cup B) \setminus (A \cap B). Burada A∪B=[−8,18]A \cup B = [-8, 18] ve A∩B=(−3,12)A \cap B = (-3, 12) olarak elde edilir. [−8,18][-8, 18] aralığından (−3,12)(-3, 12) açık aralığını çıkardığımızda, −3-3 ve 1212 değerleri kesişim kümesinde yer almadığı için fark kümesinde kalırlar. Dolayısıyla bu sınır noktaları kapalı hale gelerek K=[−8,−3]∪[12,18]K = [-8, -3] \cup [12, 18] sonucuna ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Aralık Kavramı ve Sayı Doğrusunda Gösterim

Bu konudan daha fazla soru