Examkin

Soru

Zorluk: ZorPolinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bir mobilya üreticisi, hacmi P(x)=x4−ax2+bx−5P(x) = x^4 - ax^2 + bx - 5 birimküp olan dikdörtgenler prizması şeklindeki tahta blokları, taban alanı x2−3x+2x^2 - 3x + 2 birimkare olan eş dik prizma şeklindeki parçalara ayırdığında geriye kalan tahta parçasının hacmi 8x−138x - 13 birimküp olmaktadır.

Buna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

Bulunan a=3a = 3 ve b=2b = 2 değerlerinin toplamı olan 5 sayısıdır.
Verilen bölme ilişkisi polinom denklemine dökülüp bölenin kökleri yerine yazıldığında, katsayıları içeren denklem sistemi elde edilir. Bu sistem çözüldüğünde a=3a=3 ve b=2b=2 değerleri bulunur ve bu değerlerin toplamı olan 5 doğru cevaba götürür.

Adım Adım Çözüm

1
Bölme işlemini polinom denklemine dönüştürmek.
P(x)=Q(x)⋅(x2−3x+2)+8x−13P(x) = Q(x) \cdot (x^2 - 3x + 2) + 8x - 13
Polinomlarda bölme kuralına göre bölünen polinom; bölen ile bölümün çarpımına kalanın eklenmesiyle elde edilir.
2
Bölen polinomunun köklerini bulmak ve kalan teoremine uygulamak.
x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) olduğundan kökler x=1x=1 ve x=2x=2 dir. Buradan P(1)=8(1)−13=−5P(1) = 8(1) - 13 = -5 ve P(2)=8(2)−13=3P(2) = 8(2) - 13 = 3 elde edilir.
Bölenin kökleri bölüm polinomunu sıfırlayarak doğrudan kalan değerine ulaşmamızı sağlar.
3
P(1)P(1) ve P(2)P(2) değerlerini kullanarak katsayılar için denklem sistemi kurmak.
P(1)=1−a+b−5=−5  ⟹  a−b=1P(1) = 1 - a + b - 5 = -5 \implies a - b = 1 ve P(2)=16−4a+2b−5=3  ⟹  2a−b=4P(2) = 16 - 4a + 2b - 5 = 3 \implies 2a - b = 4 elde edilir.
Bilinmeyen aa ve bb katsayılarını bulabilmek için iki değişkenli bir denklem sistemi oluşturmak gerekir.
4
Denklem sistemini çözmek ve a+ba+b değerini hesaplamak.
a=3a = 3, b=2b = 2 ve a+b=5a + b = 5 bulunur.
Kurulan denklemler taraf tarafa çıkarıldığında aa ve buna bağlı olarak bb değerleri tek tek hesaplanır.

Anahtar Kavram

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma
Bu soruyu puanla

Konular

Polinomlarda Bölme ve Kalan Bulma

Bu konudan daha fazla soru