Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMutlak Değerli Denklemler

Bir sayı doğrusu üzerinde koordinatları sırasıyla aa ve bb tam sayıları olan farklı AA ve BB noktaları işaretleniyor. Bu sayı doğrusu üzerinde alınan bir xx gerçek sayısının AA ve BB noktalarına olan uzaklıkları toplamı 1010 birimdir.

Bu koşulu sağlayan xx gerçek sayılarının çarpımı −24-24 olduğuna göre, AA ve BB noktaları arasındaki uzaklık aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    55
  2. B
    77
  3. 88Cevap
  4. D
    1010
  5. E
    1212

Cevap

8
İki noktaya olan uzaklıklar toplamı 1010 olan denklemin sonlu sayıda kökünün bulunması için noktalar arasındaki uzaklık 1010 birimden küçük olmalıdır. Denklemin kökleri çarpımından elde edilen a+b=±2a+b = \pm 2 eşitliği, aa ve bb tam sayıları için paritenin (teklik-çiftlik durumunun) aynı olduğunu gösterir. Bu durumda aralarındaki uzaklık çift bir sayı olmalıdır. Seçenekler incelendiğinde, 1010 birimden küçük ve çift sayı olan tek değer 88'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli denklemi kurma ve çözüm aralığını analiz etme
∣x−a∣+∣x−b∣=10|x - a| + |x - b| = 10 denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümlerinin var olabilmesi için noktalar arasındaki uzaklığın en fazla 10 birim olması gerekir, yani ∣a−b∣≤10|a - b| \le 10 olmalıdır.
Sayı doğrusu üzerindeki iki noktaya olan uzaklıklar toplamı, bu iki nokta arasındaki uzaklıktan daha küçük olamaz.
2
Uzaklığın sınır durumlarını inceleme
Eğer ∣a−b∣>10|a - b| > 10 ise denklemin çözüm kümesi boş kümedir. Eğer ∣a−b∣=10|a - b| = 10 ise çözüm kümesi [a,b][a, b] kapalı aralığı olur ve sonsuz elemanlıdır. Dolayısıyla, iki farklı xx değerinin çarpımının −24-24 olabilmesi için ∣a−b∣<10|a - b| < 10 olmak zorundadır.
Çarpımın tek bir sayısal değer alabilmesi için kök sayısının sonlu olması gerekir.
3
Köklerin cebirsel ifadelerini bulma ve çarpımlarını eşitleme
x>bx > b için x1=a+b+102x_1 = \frac{a+b+10}{2} ve x<ax < a için x2=a+b−102x_2 = \frac{a+b-10}{2} köklerini elde ederiz. Bu köklerin çarpımı x1⋅x2=(a+b)2−1004=−24  ⟹  (a+b)2−100=−96  ⟹  (a+b)2=4  ⟹  a+b=2x_1 \cdot x_2 = \frac{(a+b)^2 - 100}{4} = -24 \implies (a+b)^2 - 100 = -96 \implies (a+b)^2 = 4 \implies a+b = 2 veya a+b=−2a+b = -2 olur.
Aralıkların dışındaki bölgelerde denklemi açarak kökleri aa ve bb cinsinden ifade etmek gerekir.
4
Tam sayı olma ve parite (teklik-çiftlik) kuralını uygulama
aa ve bb birer tam sayı olduğuna göre, toplamları olan a+b=±2a+b = \pm 2 bir çift sayıdır. İki tam sayının toplamı çift ise farkları olan ∣a−b∣|a-b| de mutlaka çift bir sayı olmak zorundadır. ∣a−b∣<10|a-b| < 10 olduğundan ve noktalar farklı olduğundan, iki nokta arasındaki uzaklık 2,4,62, 4, 6 veya 88 değerlerinden biri olabilir.
Tam sayılar kümesinde toplama ve çıkarma işlemlerinin parite koruma özelliğinden faydalanılır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli denklemlerin geometrik yorumu, çözüm kümesi analizi ve sayı kümelerinin özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru