Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMutlak Değerli Denklemler

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı f(x)=∣x−a∣+∣x−b∣f(x) = |x - a| + |x - b| ve g(x)=∣x−c∣+∣x−d∣g(x) = |x - c| + |x - d| fonksiyonları verilmiştir. a<c<d<ba < c < d < b olmak üzere, f(x)=g(x)f(x) = g(x) denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi her zaman iki elemanlıdır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır çünkü a+b=c+da+b = c+d durumunda çözüm kümesi sonsuz elemanlı olmaktadır.
Verilen ifade yanlıştır. a+b=c+da+b = c+d olduğunda, iki fonksiyon x≤ax \leq a ve x≥bx \geq b bölgelerinde tamamen çakışır ve çözüm kümesi sonsuz elemanlı hale gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Fonksiyonların [c,d][c, d] aralığındaki değerlerini karşılaştırın.
[c,d][c, d] aralığında f(x)=b−af(x) = b-a ve g(x)=d−cg(x) = d-c sabit değerlerini alır. a<c<d<ba < c < d < b olduğundan d−c<b−ad-c < b-a olur, yani bu aralıkta f(x)>g(x)f(x) > g(x)'dir.
Fonksiyonların en küçük değer aldığı bölgelerdeki büyüklük ilişkisini belirlemek için.
2
Fonksiyonların x≥bx \geq b bölgesi için kurallarını yazın ve grafiklerin eğimlerini karşılaştırın.
x≥bx \geq b için f(x)=2x−(a+b)f(x) = 2x - (a+b) ve g(x)=2x−(c+d)g(x) = 2x - (c+d) olur. İki fonksiyonun da eğimi 2'dir.
Büyük değerler için grafik kollarının paralel olduğunu görmek için.
3
Grafik kollarının çakışma durumunu inceleyin.
Eğer a+b=c+da+b = c+d ise, x≥bx \geq b için f(x)=g(x)f(x) = g(x) ve x≤ax \leq a için f(x)=g(x)f(x) = g(x) olur. Bu durumda çözüm kümesi sonsuz elemanlı bir kümedir.
Denklemin çözüm kümesinin eleman sayısının her zaman iki olup olmadığını denetlemek için.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli fonksiyonların grafiklerinin kesim noktaları ve çakışma durumları
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru