Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri
x∈R∖Qx \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} olmak üzere,
x+1xx + \frac{1}{x}

toplamı bir tam sayıya eşittir.

Buna göre,

x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3}

ifadesinin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri kaçtır?

Cevap: 18

Cevap

İfadenin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri 18'dir.
İfadenin alabileceği en küçük pozitif tam sayı değeri, xx sayısının rasyonel olmasını engelleyen ∣k∣≥3|k| \ge 3 koşulu altında k=3k = 3 seçilerek 33−3(3)=183^3 - 3(3) = 18 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
x+1xx + \frac{1}{x} toplamını bir kk tam sayısına eşitleyerek xx değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde etmek ve bu denklemin gerçel köklerinin olması için gereken koşulu belirlemek.
x2−kx+1=0x^2 - kx + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=k2−4≥0\Delta = k^2 - 4 \ge 0 olmalıdır. Buradan k≥2k \ge 2 veya k≤−2k \le -2 elde edilir.
xx sayısın��n bir gerçel sayı olduğu verilmiştir, dolayısıyla denklemin gerçel kökleri bulunmalıdır.
2
xx sayısının irrasyonel olması koşulunu kullanarak kk tam sayısının alabileceği değer aralığını daraltmak.
k2−4k^2 - 4 ifadesinin bir tam kare olmaması gerekir. Bu ifadeyi tam kare yapan k=±2k = \pm 2 değerleri elenir ve ∣k∣≥3|k| \ge 3 koşulu elde edilir.
xx sayısının rasyonel olmaması (yani irrasyonel olması) için kareköklü ifadenin dışarıya tam sayı olarak çıkmaması gerekir.
3
İstenen x3+1x3x^3 + \frac{1}{x^3} ifadesini kk cinsinden yazıp en küçük pozitif tam sayı değerini veren kk değerini bulmak.
x3+1x3=k3−3kx^3 + \frac{1}{x^3} = k^3 - 3k ifadesinde ∣k∣≥3|k| \ge 3 için en küçük pozitif değer k=3k = 3 yazıldığında 1818 olarak bulunur.
Pozitif en küçük değeri bulmak için kk değerlerini kontrol ederiz. k≥3k \ge 3 için ifade artandır ve k=3k = 3 en küçük değeri verir; k≤−3k \le -3 için ise değer negatif olur.

Anahtar Kavram

İrrasyonel sayıların tanımı ve gerçel kök varlığı koşulu ile cebirsel özdeşliklerin birlikte uygulanması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru