Examkin

Soru

Zorluk: Ortaİkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri
3x2−2x−1+33+2x−x2=103^{x^2-2x-1} + 3^{3+2x-x^2} = 10 denklemini sağlayan xx gerçel sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

Denklemi sağlayan gerçel sayıların toplamı 4'tür.
Verilen üstel denklemde üslerin toplamı sabit olduğundan y=x2−2x−1y = x^2-2x-1 dönüşümüyle denklem 3y+9/3y=103^y + 9/3^y = 10 biçimine getirilir. t=3yt = 3^y denilerek çözüldüğünde t=1t = 1 ve t=9t = 9 kökleri bulunur. Buradan y=0y = 0 ve y=2y = 2 elde edilir. x2−2x−1=0x^2-2x-1=0 denkleminin diskriminantı Δ=8>0\Delta = 8 > 0 olup iki gerçel kökü vardır ve toplamları 22'dir. x2−2x−3=0x^2-2x-3=0 denkleminin diskriminantı Δ=16>0\Delta = 16 > 0 olup iki gerçel kökü vardır ve toplamları 22'dir. Sonuç olarak, tüm gerçel köklerin toplamı 2+2=42+2=4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Üslerin toplamının sabit olduğunu fark edip değişken ataması yapalım.
y=x2−2x−1y = x^2-2x-1 olsun. Bu durumda 3+2x−x2=2−(x2−2x−1)=2−y3+2x-x^2 = 2 - (x^2-2x-1) = 2-y olur. Denklem 3y+32−y=103^y + 3^{2-y} = 10 haline gelir.
Denklemi çözülebilir bir forma getirmek için üsler arasındaki bağıntıyı kullanmalıyız.
2
t=3yt = 3^y dönüşümü yaparak ikinci dereceden denklem elde edelim.
t+9t=10  ⟹  t2−10t+9=0  ⟹  (t−1)(t−9)=0t + \frac{9}{t} = 10 \implies t^2 - 10t + 9 = 0 \implies (t-1)(t-9) = 0 elde edilir. Buradan t=1t = 1 veya t=9t = 9 bulunur.
Üstel ifadeyi doğrusal/polinomial bir denkleme dönüştürmek çözümü kolaylaştırır.
3
tt değerlerini kullanarak yy değerlerini bulalım.
3y=1  ⟹  y=03^y = 1 \implies y = 0 ve 3y=9  ⟹  y=23^y = 9 \implies y = 2 bulunur.
t=3yt = 3^y kabulümüzü kullanarak asıl değişkenimiz olan yy'ye geri döneriz.
4
yy değerleri için xx denklemlerini yazıp gerçel köklerin varlığını kontrol edelim ve toplamlarını bulalım.
y=0  ⟹  x2−2x−1=0y = 0 \implies x^2 - 2x - 1 = 0. Δ=8>0\Delta = 8 > 0 olduğundan iki farklı gerçel kök vardır ve toplamları −ba=2-\frac{b}{a} = 2'dir. y=2  ⟹  x2−2x−1=2  ⟹  x2−2x−3=0y = 2 \implies x^2 - 2x - 1 = 2 \implies x^2 - 2x - 3 = 0. Δ=16>0\Delta = 16 > 0 olduğundan iki farklı gerçel kök vardır (bunlar 33 ve −1-1'dir) ve toplamları −ba=2-\frac{b}{a} = 2'dir. Tüm gerçel köklerin toplamı 2+2=42 + 2 = 4 olur.
Her iki denklemin de gerçel kökleri olup olmadığını diskriminant yardımıyla kontrol etmeli ve kökler toplamı formülünü uygulayarak sonuca ulaşmalıyız.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denkleme dönüştürülebilen denklemlerde değişken değiştirme yöntemi ve köklerin varlığının kontrolü.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Yöntemleri