Examkin

Soru

Zorluk: OrtaMerkezi Yayılım Ölçüleri

Bir veri grubunun elemanları 33, 55, 77, 99 ve aa tam sayılarından oluşmaktadır.

Bu veri grubunun standart sapması 55 olduğuna göre, aa'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    -12
  2. B
    6
  3. 12Cevap
  4. D
    16
  5. E
    24

Cevap

12
Verilen veri grubunun standart sapma formülü kurulup düzenlendiğinde a2−12a−64=0a^2 - 12a - 64 = 0 denklemi elde edilir. Bu denklemin kökleri 16 ve -4'tür. Bu iki tam sayının toplamı 12'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Veri grubunun eleman sayısı (nn) ve aritmetik ortalaması (xˉ\bar{x}) ifade edilir.
Veri grubunda 55 eleman vardır (n=5n = 5). Aritmetik ortalama:
xˉ=3+5+7+9+a5=24+a5\bar{x} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + a}{5} = \frac{24 + a}{5}
Standart sapma hesaplanırken verilerin aritmetik ortalamadan sapmaları kullanılmaktadır.
2
Standart sapma formülü kullanılarak denklem kurulur.
Standart sapma s=5s = 5 olduğuna göre:
5=(3−xˉ)2+(5−xˉ)2+(7−xˉ)2+(9−xˉ)2+(a−xˉ)25−15 = \sqrt{\frac{(3 - \bar{x})^2 + (5 - \bar{x})^2 + (7 - \bar{x})^2 + (9 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2}{5 - 1}}
Her iki tarafın karesi alınarak:
25=(3−xˉ)2+(5−xˉ)2+(7−xˉ)2+(9−xˉ)2+(a−xˉ)2425 = \frac{(3 - \bar{x})^2 + (5 - \bar{x})^2 + (7 - \bar{x})^2 + (9 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2}{4}
100=(3−xˉ)2+(5−xˉ)2+(7−xˉ)2+(9−xˉ)2+(a−xˉ)2100 = (3 - \bar{x})^2 + (5 - \bar{x})^2 + (7 - \bar{x})^2 + (9 - \bar{x})^2 + (a - \bar{x})^2 elde edilir.
Sapmaların kareler toplamı standart sapma ve eleman sayısı yardımıyla bulunur.
3
Kareler toplamı sadeleştirilerek aa değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edilir.
Matematiksel olarak ∑(xi−xˉ)2=∑xi2−nxˉ2\sum (x_i - \bar{x})^2 = \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 ��zdeşliği kullanılır:
∑xi2=32+52+72+92+a2=164+a2\sum x_i^2 = 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + a^2 = 164 + a^2
5xˉ2=5(24+a5)2=a2+48a+57655\bar{x}^2 = 5 \left(\frac{24+a}{5}\right)^2 = \frac{a^2 + 48a + 576}{5}
Bu ifadeler yerlerine yazıldığında:
164+a2−a2+48a+5765=100164 + a^2 - \frac{a^2 + 48a + 576}{5} = 100
64+a2−a2+48a+5765=064 + a^2 - \frac{a^2 + 48a + 576}{5} = 0
5(64+a2)−(a2+48a+576)=05(64 + a^2) - (a^2 + 48a + 576) = 0
320+5a2−a2−48a−576=0320 + 5a^2 - a^2 - 48a - 576 = 0
4a2−48a−256=04a^2 - 48a - 256 = 0
Her terim 4'e bölündüğünde:
a2−12a−64=0a^2 - 12a - 64 = 0 denklemi elde edilir.
aa'nın değerlerini bulabilmek için denklem çarpanlarına ayrılabilecek forma getirilir.
4
Elde edilen ikinci dereceden denklem çözülerek aa değerlerinin toplamı bulunur.
a2−12a−64=0  ⟹  (a−16)(a+4)=0a^2 - 12a - 64 = 0 \implies (a - 16)(a + 4) = 0
Buradan a=16a = 16 veya a=−4a = -4 bulunur.
Değerlerin toplamı ise:
16+(−4)=1216 + (-4) = 12 olarak bulunur.
(Alternatif olarak, kökler toplamı formülü olan −ba-\frac{b}{a} kullanılarak toplam doğrudan −−121=12-\frac{-12}{1} = 12 olarak bulunur.)
Denklemin kökleri belirlenerek istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Standart sapma formülü ve verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamının hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Merkezi Yayılım Ölçüleri

Bu konudan daha fazla soru