Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir kırtasiyeci elindeki tüm kalemleri, her pakette eşit sayıda kalem olacak şekilde paketleyecektir. Bu paketleme işlemiyle ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Kırtasiyeci kalemleri paketlere xx adet olacak şekilde koyarsa iki basamaklı abab tane paket elde etmektedir.
* Kırtasiyeci her pakete 2 kalem daha fazla koyarsa paket sayısı 9 azalmakta ve iki basamaklı baba tane paket elde etmektedir.
* Son durumdaki paket sayısı (baba), başlangıçtaki paket sayısının (abab) 56\frac{5}{6}'sinden fazla değildir.

Buna göre, kırtasiyecinin paketlediği toplam kalem sayısı kaçtır?

  1. A
    216
  2. B
    360
  3. 540Cevap
  4. D
    720
  5. E
    1008

Cevap

Kırtasiyecinin paketlediği toplam kalem sayısı 540'tır.
Doğru cevaba ulaşmak için ilk ve ikinci durumdaki paket ve kalem sayıları arasındaki ilişkiden bir denklem kurulur. Paket sayısının iki basamaklı abab ve baba olduğu bilgisiyle basamak çözümlemesi yapılarak a−b=1a - b = 1 olduğu bulunur. Son durumdaki paket sayısının başlangıçtakinin 56\frac{5}{6}'sinden fazla olmadığı bilgisiyle ab≤54ab \leq 54 eşitsizliğine ulaşılır. Toplam kalem sayısının eşitliğinden elde edilen 9x=2ab−189x = 2ab - 18 denkleminde xx'in tam sayı olması gerektiğinden, abab sayısının 9'un katı olması gerektiği görülür. Bu koşulları sağlayan tek sayı olan ab=54ab = 54 için x=10x = 10 bulunur ve toplam kalem sayısı 10×54=54010 \times 54 = 540 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen bilgileri kullanarak paket sayısı ve kalem sayısı arasındaki ilişkileri kurmak.
Toplam kalem sayısı TT olsun. İlk durumda T=x⋅abT = x \cdot ab ve ikinci durumda T=(x+2)⋅baT = (x + 2) \cdot ba olur. Ayrıca paket sayısının 9 azaldığı belirtildiğinden ba=ab−9ba = ab - 9 eşitliği yazılır.
Problemdeki sözel ifadeleri cebirsel denklemlere dönüştürmek için.
2
Basamak çözümlemesi yaparak aa ve bb rakamları arasındaki ilişkiyi bulmak.
ba=ab−9⇒10b+a=10a+b−9⇒9a−9b=9⇒a−b=1ba = ab - 9 \Rightarrow 10b + a = 10a + b - 9 \Rightarrow 9a - 9b = 9 \Rightarrow a - b = 1 elde edilir. Bu durumda abab iki basamaklı sayısının alabileceği değerler 21, 32, 43, 54, 65, 76, 87, 98 olabilir.
İki basamaklı sayıların çözümlenmesiyle rakamlar arasındaki farkı belirlemek için.
3
Eşitsizlik koşulunu kullanarak abab sayısının alabileceği üst sınırı belirlemek.
ba≤56⋅ab⇒ab−9≤56⋅ab⇒16⋅ab≤9⇒ab≤54ba \leq \frac{5}{6} \cdot ab \Rightarrow ab - 9 \leq \frac{5}{6} \cdot ab \Rightarrow \frac{1}{6} \cdot ab \leq 9 \Rightarrow ab \leq 54 elde edilir.
Hangi abab değerlerinin koşulları sağladığını sınırlamak için.
4
Toplam kalem sayısının eşitliğinden xx değerini çekmek ve tam sayı olma koşulunu kontrol etmek.
x⋅ab=(x+2)⋅(ab−9)⇒x⋅ab=x⋅ab−9x+2ab−18⇒9x=2ab−18⇒x=2ab−189x \cdot ab = (x + 2) \cdot (ab - 9) \Rightarrow x \cdot ab = x \cdot ab - 9x + 2ab - 18 \Rightarrow 9x = 2ab - 18 \Rightarrow x = \frac{2ab - 18}{9} olur. xx bir tam sayı olmak zorunda olduğundan, 2ab−182ab - 18 ifadesi 9'a tam bölünmelidir. 18 sayısı 9'a bölündüğünden abab sayısı da 9'un katı olmalıdır. ab≤54ab \leq 54 koşulunu sağlayan ve rakamları farkı 1 olan (a−b=1a - b = 1) tek 9'un katı iki basamaklı sayı ab=54ab = 54'tür.
Değişkenlerin tam sayı olma koşuluna göre tek bir çözüm bulmak için.
5
Toplam kalem sayısını hesaplamak.
ab=54ab = 54 ise x=2(54)−189=10x = \frac{2(54) - 18}{9} = 10 olur. Toplam kalem sayısı T=10×54=540T = 10 \times 54 = 540 olarak bulunur.
Soruda istenen toplam kalem sayısını bulmak için.

Anahtar Kavram

İki basamaklı sayıların basamak çözümlemesi ve sayı problemleri kurularak tam sayı kısıtlarına göre çözülmesi.

Alternatif Yöntem

Paket sayılarının iki basamaklı abab ve baba sayıları olmasından yola çıkarak ba=ab−9ba = ab - 9 eşitliği yazılır. Buradan a−b=1a - b = 1 olduğu görülür. Seçeneklerdeki sayıların çarpanları incelendiğinde, toplam kalem sayısının hem abab hem de baba sayılarına tam bölünmesi gerektiği fark edilebilir. Beş yüz kırk sayısı incelendiğinde, hem 54'e (540/54=10540/54 = 10) hem de 45'e (540/45=12540/45 = 12) tam bölünmektedir ve aralarındaki fark 2'dir. Diğer seçenekler bu koşulu sağlamaz.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru