Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Problemleri

Bir kargo firmasında çalışan Ahmet ve Barış'ın gün sonunda teslim ettikleri paket sayıları ve bu paketler karşılığında alacakları net prim ödemeleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* Ahmet ve Barış'ın her birine gün başında dağıtmak üzere eşit sayıda paket verilmiştir.
* Ahmet, zamanında teslim ettiği her paket için 1515 TL prim alırken; zamanında teslim edemediği her paket için 1010 TL ceza ödemekte (bu tutar priminden düşülmekte)dir.
* Barış, zamanında teslim ettiği her paket için 2020 TL prim alırken; zamanında teslim edemediği her paket için 1212 TL ceza ödemektedir.
* Gün sonunda her ikisi de kendilerine verilen tüm paketleri teslim etmiştir.
* İkisinin zamanında teslim ettiği toplam paket sayısı, zamanında teslim edemediği toplam paket sayısının 33 katıdır.
* Ahmet'in gün sonunda elde ettiği net prim, Barış'ın elde ettiği net primden 9090 TL fazladır.

Buna göre, Ahmet'in gün başında dağıtmak üzere aldığı toplam paket sayısı kaçtır?

  1. A
    18
  2. B
    40
  3. C
    50
  4. 60Cevap
  5. E
    84

Cevap

Ahmet'in gün başında dağıtmak üzere aldığı toplam paket sayısı 60'tır.
Zamanında teslim edilen toplam paket sayısı ile zamanında teslim edilemeyen toplam paket sayısı arasındaki orandan toplam paket sayısı olan NN ile zamanında teslim edilen paket sayıları xx ve yy arasında N=23(x+y)N = \frac{2}{3}(x+y) bağıntısı kurulur. Net prim farkı denklemi oluşturulup bu bağıntı yerine yazıldığında 79x−92y=27079x - 92y = 270 Diofant denklemi elde edilir. Pozitif tam sayı sınır koşullarında bu denklemi sağlayan en küçük değerler x=50x = 50 ve y=40y = 40 olup toplam paket sayısı N=60N = 60 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Ahmet ve Barış'ın her birine verilen paket sayısını NN, Ahmet'in zamanında teslim ettiği paket sayısını xx, Barış'ın zamanında teslim ettiği paket sayısını ise yy olarak değişkenlerle ifade edelim.
Ahmet'in zamanında teslim edemediği paket sayısı N−xN - x, Barış'ın ise N−yN - y olur.
Problemdeki verileri matematiksel denklemlere dökebilmek için değişkenleri tanımlamamız gerekir.
2
İki kuryenin zamanında teslim ettiği toplam paket sayısı (x+yx + y) ile zamanında teslim edemediği toplam paket sayısının [(N−x)+(N−y)=2N−(x+y)(N - x) + (N - y) = 2N - (x + y)] oranını kullanarak bir denklem kuralım.
x+y=3⋅[2N−(x+y)]  ⟹  4(x+y)=6N  ⟹  N=23(x+y)x + y = 3 \cdot [2N - (x + y)] \implies 4(x + y) = 6N \implies N = \frac{2}{3}(x + y) elde edilir.
Zamanında teslim edilen paketlerin, teslim edilemeyenlerin 3 katı olduğu bilgisini denklemleştirmek için.
3
Ahmet ve Barış'ın aldıkları net prim miktarlarını veren denklemleri yazıp net prim farkını (9090 TL) eşitleyelim.
Ahmet'in net primi: 15x−10(N−x)=25x−10N15x - 10(N - x) = 25x - 10N ve Barış'ın net primi: 20y−12(N−y)=32y−12N20y - 12(N - y) = 32y - 12N olup, prim farkı: (25x−10N)−(32y−12N)=90  ⟹  25x−32y+2N=90(25x - 10N) - (32y - 12N) = 90 \implies 25x - 32y + 2N = 90 olur.
Prim kazançları ve aralarındaki fark bilgisini kullanarak ikinci ana denklemi oluşturmak için.
4
N=23(x+y)N = \frac{2}{3}(x + y) ifadesini prim farkı denkleminde yerine yazarak xx ve yy cinsinden bir Diofant denklemi elde edelim ve en küçük pozitif tam sayı çözümünü bulalım.
25x−32y+2⋅23(x+y)=90  ⟹  79x−92y=27025x - 32y + 2 \cdot \frac{2}{3}(x + y) = 90 \implies 79x - 92y = 270 denklemini sağlayan en küçük pozitif tam sayı çözümü x=50x = 50 ve y=40y = 40 olarak bulunur. Buradan toplam paket sayısı N=23(50+40)=60N = \frac{2}{3}(50 + 40) = 60 elde edilir.
Bilinmeyenleri sınır koşullarına göre çözüp Ahmet'in aldığı toplam paket sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Sayı Problemleri
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru