Examkin

Soru

Zorluk: ZorMutlak Değerli Denklemler

Sayı doğrusu üzerinde koordinatları sırasıyla −1-1, 22 ve 55 olan AA, BB ve CC noktaları işaretleniyor. Bu sayı doğrusu üzerinde seçilen bir P(x)P(x) gerçek sayı noktasının AA ve CC noktalarına olan uzaklıkları toplamı, BB noktasına olan uzaklığının 44 katına eşittir.

Buna göre, PP noktasının koordinatı olan xx'in alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?

  1. A
    22
  2. B
    33
  3. C
    66
  4. 44Cevap
  5. E
    00

Cevap

Denklemi sağlayan gerçek sayı değerlerinin toplamı 4'tür.
Denklemi sağlayan köklerin toplamı olan 4 değeri doğrudur. [−1,5][-1, 5] aralığında yer alan ve denklemi sağlayan x=0,5x = 0,5 ile x=3,5x = 3,5 köklerinin toplamı 0,5+3,5=40,5 + 3,5 = 4 yapar.

Adım Adım Çözüm

1
Uzaklık tanımını kullanarak matematiksel denklemi kuralım.
∣x−(−1)∣+∣x−5∣=4∣x−2∣  ⟹  ∣x+1∣+∣x−5∣=4∣x−2∣|x - (-1)| + |x - 5| = 4|x - 2| \implies |x + 1| + |x - 5| = 4|x - 2|
Sayı doğrusu üzerinde iki nokta arasındaki uzaklık, koordinatlarının farkının mutlak değerine eşittir.
2
Kritik noktaları belirleyip öncelikle xx'in [−1,5][-1, 5] aralığında olduğu durumu inceleyelim.
x∈[−1,5]x \in [-1, 5] için ∣x+1∣+∣x−5∣=6|x + 1| + |x - 5| = 6 olur. Denklem 6=4∣x−2∣6 = 4|x - 2| haline gelir.
[−1,5][-1, 5] aralığındaki her xx gerçek sayısı için A(−1)A(-1) ve C(5)C(5) noktalarına olan uzaklıklar toplamı sabit olup bu iki nokta arasındaki toplam mesafe olan 6 birime eşittir.
3
[−1,5][-1, 5] aralığındaki basitleştirilmiş denklemi çözelim ve bulduğumuz köklerin bu aralıkta olup olmadığını denetleyelim.
∣x−2∣=1,5  ⟹  x−2=1,5|x - 2| = 1,5 \implies x - 2 = 1,5 veya x−2=−1,5x - 2 = -1,5. Buradan x=3,5x = 3,5 ve x=0,5x = 0,5 bulunur. Her iki değer de [−1,5][-1, 5] aralığındadır.
Mutlak değerli bir ifadenin pozitif bir sayıya eşitliği durumunda ifadenin kendisi bu sayının kendisine veya negatifine eşitlenir.
4
[−1,5][-1, 5] aralığının dışındaki bölgeleri inceleyelim.
x>5x > 5 için: (x+1)+(x−5)=4(x−2)  ⟹  2x−4=4x−8  ⟹  2x=4  ⟹  x=2(x + 1) + (x - 5) = 4(x - 2) \implies 2x - 4 = 4x - 8 \implies 2x = 4 \implies x = 2 (Geçersiz, çünkü 2≯52 \not> 5). x<−1x < -1 için: −(x+1)−(x−5)=4(2−x)  ⟹  −2x+4=8−4x  ⟹  2x=4  ⟹  x=2-(x + 1) - (x - 5) = 4(2 - x) \implies -2x + 4 = 8 - 4x \implies 2x = 4 \implies x = 2 (Geçersiz, çünkü 2≮−12 \not< -1).
Mutlak değerlerin işaretleri aralıklara göre belirlendikten sonra çözülen denklemin köklerinin, başlangıçta kabul edilen aralık sınırlarına dahil olup olmadığı kontrol edilmelidir.
5
Geçerli köklerin toplamını bulalım.
0,5+3,5=40,5 + 3,5 = 4
Sadece [−1,5][-1, 5] aralığından gelen 0,50,5 ve 3,53,5 değerleri denklemi sağladığı için bu iki değer toplanır.

Anahtar Kavram

Mutlak değerin sayı doğrusundaki uzaklık tanımı ve parçalı fonksiyon olarak çözümü

Alternatif Yöntem

Geometrik olarak, xx noktası [−1,5][-1, 5] aralığında olduğunda, A(−1)A(-1) ve C(5)C(5) noktalarına olan uzaklıkları toplamı her zaman bu iki nokta arasındaki sabit mesafeye, yani 66 birime eşittir. Dolayısıyla denklem doğrudan 6=4⋅∣x−2∣  ⟹  ∣x−2∣=1,56 = 4 \cdot |x - 2| \implies |x - 2| = 1,5 biçimine dönüşür. Buradan xx, 22 noktasından 1,51,5 birim sağda veya 1,51,5 birim solda yer almalıdır. Bu noktalar sırasıyla 2+1,5=3,52 + 1,5 = 3,5 ve 2−1,5=0,52 - 1,5 = 0,5 olur. İki değerin toplamı ise simetri merkezi olan 22 noktasının 22 katı olan 44 değerini verir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru