Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Problemleri

Bir kahve dükkanında satılan küçük, orta ve büyük boy kahvelerin adet fiyatları sırasıyla 3030 TL, 4545 TL ve 6060 TL'dir. Bu dükkandan bir günde toplam 1515 adet kahve satın alan bir arkadaş grubunun siparişleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir:

* En çok tercih edilen kahve boyu orta boydur.
* En az tercih edilen kahve boyu küçük boydur.
* Satın alınan küçük ve büyük boy kahveler için ödenen toplam tutar, orta boy kahveler için ödenen toplam tutara eşittir.

Buna göre, bu grup kaç adet büyük boy kahve satın almıştır?

  1. A
    22
  2. B
    44
  3. 55Cevap
  4. D
    66
  5. E
    88

Cevap

Büyük boy kahve sayısı 5'tir.
Büyük boy kahve sayısı olan 5 değeri, gruptaki kahve adetlerinin toplamı 15'e eşitlendiğinde ve ödenen ücretlerin eşitliği (30x+60z=45y30x + 60z = 45y) sadeleştirilerek yerine koyma yöntemi uygulandığında elde edilen 5x+7z=455x + 7z = 45 denklemini ve x<z<yx < z < y sıralama şartını sağlayan tek tam sayı çözümüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Kahve adetlerini değişkenlerle tanımlayıp toplam kahve adedi denklemini kuralım.
Küçük boy kahve sayısı xx, orta boy kahve sayısı yy, büyük boy kahve sayısı zz olsun. Toplam kahve sayısı: x+y+z=15x + y + z = 15 olur. Buradan y=15−x−zy = 15 - x - z elde edilir.
Değişken sayısını azaltmak ve ortak bir denklem kurabilmek için.
2
Ödenen ücretler arasındaki eşitlikten faydalanarak ikinci bir denklem oluşturalım.
Küçük ve büyük boy kahvelere ödenen toplam tutar: 30x+60z30x + 60z TL'dir. Orta boy kahvelere ödenen toplam tutar: 45y45y TL'dir. Bu tutarlar eşit oldu��undan 30x+60z=45y30x + 60z = 45y olur. Her iki tarafı da 15 ile sadeleştirirsek 2x+4z=3y2x + 4z = 3y elde edilir.
Soruda verilen fiyat ve harcama ilişkisini matematiksel ifadeye dökmek için.
3
Birinci adımdaki yy ifadesini ikinci denklemde yerine yazalım.
2x+4z=3(15−x−z)  ⟹  2x+4z=45−3x−3z  ⟹  5x+7z=452x + 4z = 3(15 - x - z) \implies 2x + 4z = 45 - 3x - 3z \implies 5x + 7z = 45 denklemi elde edilir.
İki bilinmeyenli tek bir denklem elde ederek tam sayı çözümlerini bulmak için.
4
Kahve adetlerinin pozitif tam sayı olması gerektiğini ve verilen sıralama koşulunu kullanarak değerleri belirleyelim.
5x+7z=455x + 7z = 45 denkleminde xx ve zz pozitif tam sayılar olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek pozitif tam sayı ikilisi z=5z = 5 ve x=2x = 2 değerleridir. Bu durumda y=15−2−5=8y = 15 - 2 - 5 = 8 bulunur. Sıralama koşulu incelendiğinde en az tercih edilen küçük boy (x=2x = 2), en çok tercih edilen orta boy (y=8y = 8) ve büyük boy (z=5z = 5) olduğundan 2<5<82 < 5 < 8 sıralaması doğrulanır.
Soruda belirtilen tercih miktarı sıralamasına (x<z<yx < z < y) uygunluğu kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Sayı problemlerinde denklem kurma ve tam sayı çözümlerini analiz etme
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Problemleri

Bu konudan daha fazla soru