Üçüncü dereceden bir P(x) polinomunun x^2 - x ile bölümünden kalan 3x + 2, x^2 + x ile böl… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinomunun $x^2 - x$ ile bölümünden kalan $3x + 2$ , $x^2 + x$ ile bölümünden kalan ise $5x + 2$ 'dir.

Buna göre, $P(x)$ polinomunun $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Cevap: 18

Polinomun

x - 2

ile bölümünden kalan 18'dir.

Verilen bölme işlemlerinden elde edilen kalanlar ve bölenlerin kökleri kullanılarak polinomun katsayıları benzersiz şekilde belirlenir.

P(x) = 2x^3 - x^2 + 2x + 2

polinomunda

x = 2

yazılarak kalan 18 olarak bulunur.

Bölme özdeşliklerini kurma

P(x) = (x^2 - x)(ax + b) + 3x + 2

P(x) = (x^2 + x)(cx + d) + 5x + 2

Üçüncü dereceden bir polinomun ikinci dereceden polinomlara bölümünden elde edilen bölümler birinci dereceden olmalıdır.

Baş katsayıları ilişkilendirme ve değerleri belirleme

a = c

P(0) = 2

P(1) = 5

P(-1) = -3

x = 0

x = 1

x = -1

değerleri bölenlerin kökleri olduğu için bu noktalardaki kalan değerleri doğrudan polinomun değerlerini verir.

Katsayıları çözme

P(x) = 2x^3 - x^2 + 2x + 2

P(0) = 2 \implies d = 2

P(1) = a + b + c + 2 = 5 \implies a + b + c = 3

P(-1) = -a + b - c + 2 = -3 \implies -a + b - c = -5

denklemleri taraf tarafa toplanarak

b = -1

a = c = 2

bulunur.

P(2)

değerini hesaplama

Polinomun

x - 2

ile bölümünden kalan, polinomda

x

yerine

2

yazılmasıyla elde edilen

P(2)

değerine eşittir.

Polinomlarda kalan bulma ve katsayı belirleme

Soru