Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri
Bir xx irrasyonel gerçel sayısı için
x2−axx^2 - ax
ve
x3−13xx^3 - 13x
ifadelerinin değerleri birer rasyonel sayıdır.

Buna göre, aa pozitif tam sayısı kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

a pozitif tam sayısı 2'dir.
Verilen xx irrasyonel gerçel sayısı için x2−axx^2-ax ve x3−13xx^3-13x ifadelerinin rasyonel olması, ancak ve ancak x2−ax−r=0x^2-ax-r=0 denkleminin köklerinin irrasyonel ve gerçel olmasıyla mümkündür. Polinom bölmesiyle elde edilen r=13−a2r = 13 - a^2 değeri yerine yazıldığında diskriminantın Δ=52−3a2\Delta = 52 - 3a^2 olduğu görülür. Δ≥0\Delta \geq 0 şartından a∈{1,2,3,4}a \in \{1, 2, 3, 4\} bulunur. Bu değerlerden sadece a=2a=2 için diskriminant tam kare olmayan bir pozitif sayı (4040) belirtir ve irrasyonel kök üretir. Diğer değerler rasyonel kökler ürettiği için aranan aa sayısı 2 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
x2−axx^2 - ax ve x3−13xx^3 - 13x ifadelerini rasyonel sayılara eşitleyip polinom denklemlerini oluşturmak.
x2−ax=rx^2 - ax = r ve x3−13x=sx^3 - 13x = s (r,s∈Qr, s \in \mathbb{Q}). Buradan x2−ax−r=0x^2 - ax - r = 0 ve x3−13x−s=0x^3 - 13x - s = 0 elde edilir.
xx irrasyonel sayısının sağladığı rasyonel katsayılı polinom ilişkilerini analiz etmek.
2
x2−ax−rx^2 - ax - r polinomunu x3−13x−sx^3 - 13x - s polinomuna bölerek kalan şartını belirlemek.
x3−13x−s=(x+a)(x2−ax−r)+(a2+r−13)x+(ar−s)x^3 - 13x - s = (x + a)(x^2 - ax - r) + (a^2 + r - 13)x + (ar - s) ve kalanın sıfır olmasından r=13−a2r = 13 - a^2 elde edilir.
İrrasyonel xx sayısının her iki denklemi de sağlaması için ikinci derece polinomun üçüncü derece polinomu tam bölmesi gerekir.
3
xx sayısının gerçel sayı olma şartını (diskriminantın negatif olmaması) ve irrasyonel olma şartını (diskriminantın tam kare olmaması) incelemek.
Δ=a2+4r=52−3a2≥0  ⟹  a∈{1,2,3,4}\Delta = a^2 + 4r = 52 - 3a^2 \geq 0 \implies a \in \{1, 2, 3, 4\}. a=1,3,4a=1, 3, 4 için Δ\Delta sırasıyla 49,25,449, 25, 4 (tam kare) olur ve xx rasyonel çıkar. a=2a=2 için Δ=40\Delta = 40 (tam kare değil) olur ve x=1±10x = 1 \pm \sqrt{10} irrasyoneldir.
aa pozitif tam sayısının sadece irrasyonel gerçel kök üreten değerini belirlemek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri tanımları, rasyonel ve irrasyonel sayıların cebirsel özellikleri ve ikinci dereceden denklem diskriminant analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru