Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri

Sayı kümeleriyle ilgili verilen;

I. İki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.

II. Bir rasyonel sayı ile bir irrasyonel sayının çarpımı her zaman irrasyonel bir sayıdır.

III. Karesi rasyonel sayı olan her gerçel sayı bir rasyonel sayıdır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. Yalnız ICevap
  2. B
    Yalnız II
  3. C
    I ve II
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

Yalnız I
İki irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir. Örneğin, birbirinin toplama işlemine göre tersi olan 2\sqrt{2} ve −2-\sqrt{2} irrasyonel sayılarının toplamı rasyonel bir sayı olan 00'dır. Bu yüzden birinci öncül doğrudur. Diğer iki öncül ise sırasıyla sıfır elemanının etkisi ve irrasyonel sayıların karelerinin rasyonelliği durumlarından ötürü her zaman geçerli değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü test etmek için iki irrasyonel sayı seçip toplamlarını inceleyelim.
5\sqrt{5} ve −5-\sqrt{5} sayıları irrasyoneldir. Toplamları ise 5+(−5)=0\sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0 olur. 00 sayısı bir rasyonel sayı olduğundan iki irrasyonel sayının toplamı rasyonel sayı olabilir. Dolayısıyla birinci öncül doğrudur.
Toplama işleminin sonucunun rasyonel sayı olabileceğini gösteren karşıt bir örnek bulmak öncülün doğruluğunu kanıtlar.
2
İkinci öncülü test etmek için rasyonel sayı olarak 00 sayısını seçip irrasyonel bir sayı ile çarpalım.
0∈Q0 \in \mathbb{Q} (rasyonel) ve 2∈Q′\sqrt{2} \in \mathbb{Q}' (irrasyonel) olsun. Bu iki sayının çarpımı 0⋅2=00 \cdot \sqrt{2} = 0 olur. 00 rasyonel bir sayı olduğundan çarpım rasyonel çıkmıştır. Dolayısıyla ikinci öncül yanlıştır.
Sıfır elemanının rasyonel sayı olduğu ve çarpma işlemindeki yutan eleman rolü, öncüldeki genel yargıyı çürütür.
3
Üçüncü öncülü doğrulamak amacıyla karesi rasyonel olan ancak kendisi rasyonel olmayan bir sayı olup olmadığını araştıralım.
x=3x = \sqrt{3} sayısı irrasyonel bir sayıdır. Ancak karesi x2=3x^2 = 3 olup bir rasyonel sayıdır. Karesi rasyonel olduğu halde kendisi irrasyonel olan sayılar bulunduğundan üçüncü öncül yanlıştır.
Köklü sayıların karesinin rasyonel olabileceği gerçeği ile sayının kendisinin irrasyonel kalması durumu arasındaki farkı belirlemek gerekir.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin özellikleri ve elemanlarının işlemsel davranışları
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru