Examkin

Soru

Zorluk: KolayMutlak Değerli Denklemler
∣x−3∣=2x−9|x - 3| = 2x - 9

denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. \{6\}Cevap
  2. B
    \{4, 6\}
  3. C
    \{4\}
  4. D
    \{3, 6\}
  5. E
    \varnothing

Cevap

Çözüm kümesi yalnızca 6 elemanından oluşan kümedir.
Doğru seçenekte belirtilen küme yalnızca geçerli olan kökü içerir. ∣x−3∣=2x−9|x-3| = 2x-9 denkleminde mutlak değer dışı negatif olamayacağı için 2x−9≥02x-9 \ge 0 yani x≥4,5x \ge 4,5 olmalıdır. Denklemin pozitif durumundan elde edilen x=6x=6 değeri bu koşulu sağlarken, negatif durumundan elde edilen x=4x=4 değeri sağlamaz. Bu yüzden çözüm kümesi yalnızca 6'yı içerir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli bir ifadenin sonucu negatif olamayacağından, denklemin sağ tarafındaki ifadenin işaret koşulunu belirleyin.
2x−9≥0⇒2x≥9⇒x≥4,52x - 9 \ge 0 \Rightarrow 2x \ge 9 \Rightarrow x \ge 4,5 olmalıdır.
Bir sayının mutlak değeri her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir.
2
Mutlak değerin içindeki ifadeyi bir pozitif bir de negatif olarak dışarı çıkararak iki farklı denklem elde edin ve çözün.
1. durum: x−3=2x−9⇒x=6x - 3 = 2x - 9 \Rightarrow x = 6
2. durum: −(x−3)=2x−9⇒−x+3=2x−9⇒3x=12⇒x=4-(x - 3) = 2x - 9 \Rightarrow -x + 3 = 2x - 9 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4
Mutlak değer tanımı gereği ∣y∣=a|y| = a ise y=ay = a veya y=−ay = -a olur.
3
Bulunan köklerin birinci adımda elde edilen x≥4,5x \ge 4,5 koşulunu sağlayıp sağlamadığını kontrol edin.
x=6x = 6 için 6≥4,56 \ge 4,5 olduğundan bu kök geçerlidir.
x=4x = 4 için 4<4,54 < 4,5 olduğundan bu kök geçersizdir (denklemde yerine yazıldığında ∣4−3∣=2(4)−9⇒1=−1|4-3| = 2(4)-9 \Rightarrow 1 = -1 çelişkisi elde edilir).
Bulunan köklerin denklemin tanımlı olduğu aralıkta yer alması gerekir.
4
Geçerli kökleri bir küme içerisinde yazarak çözüm kümesini oluşturun.
Çözüm kümesi {6}\{6\} olarak bulunur.
Sadece koşulu sağlayan gerçek sayılar çözüm kümesine dahil edilir.

Anahtar Kavram

Mutlak değerli bir ifadenin değişken içeren bir ifadeye eşit olduğu denklemlerde, elde edilen köklerin doğruluğunun ve mutlak değerin sonucunun negatif olamayacağı kuralının kontrol edilmesi gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Mutlak Değerli Denklemler

Bu konudan daha fazla soru