Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBasamak Analizi ve Çözümleme

Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan üç basamaklı bir ABCABC doğal sayısının farklı iki basamağındaki rakamlar seçilerek yazılabilecek tüm iki basamaklı doğal sayıların toplamı S(ABC)S(ABC) ile gösterilmektedir.

Örneğin;
S(123)=12+13+21+23+31+32=132S(123) = 12 + 13 + 21 + 23 + 31 + 32 = 132
olmaktadır.
Rakamları sıfırdan ve birbirinden farklı olan bir ABCABC doğal sayısı için
ABC=S(ABC)+123ABC = S(ABC) + 123
eşitliği sağlandığına göre, bu koşulu sağlayan ABCABC sayısının rakamları toplamı kaçtır?

Cevap: 16

Cevap

Koşulu sağlayan üç basamaklı sayı 475'tir ve bu sayının rakamları toplamı 16'dır.
Verilen koşullara göre çözümlenen denklemde A=4A=4, B=7B=7 ve C=5C=5 değerleri tek geçerli çözümdür. Rakamlar toplamı 4+7+5=164+7+5=16 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen S(ABC)S(ABC) fonksiyonunun tanımına göre iki basamaklı sayıların toplamını çözümleyerek ifade ediniz.
S(ABC)=22(A+B+C)S(ABC) = 22(A + B + C) elde edilir.
S(ABC)S(ABC) toplamındaki her bir rakam onlar basamağında 2 kez ve birler basamağında 2 kez yer alır. Bu da her bir rakam için 2×10+2×1=222 \times 10 + 2 \times 1 = 22 çarpanı getirir.
2
Verilen ABC=S(ABC)+123ABC = S(ABC) + 123 eşitliğinde sayıları basamak değerlerine göre açarak yerine yazınız ve denklemi sadeleştiriniz.
26A=4B+7C+4126A = 4B + 7C + 41 denklemi elde edilir.
100A+10B+C=22(A+B+C)+123100A + 10B + C = 22(A + B + C) + 123 denklemi düzenlendiğinde 78A−12B−21C=12378A - 12B - 21C = 123 olur. Her iki taraf 3 ile bölündüğünde sadeleşmiş denklem elde edilir.
3
26A=4B+7C+4126A = 4B + 7C + 41 denkleminde AA rakamı için olası değerleri sınırlandırarak analiz ediniz.
AA rakamı yalnızca 44 değerini alabilir.
B,C≤9B, C \leq 9 olduğundan sağ tarafın en büyük değeri 4(8)+7(9)+41=1364(8) + 7(9) + 41 = 136 (farklı rakamlar için) olur, bu da A≤5A \leq 5 olmasını gerektirir. A<4A < 4 için ise sol taraf çok küçük kalır veya tam sayı çözümü vermez. Modulo aritmetiği ve teklik-çiftlik incelemesiyle A=4A=4 olduğu belirlenir.
4
A=4A = 4 için 4B+7C=634B + 7C = 63 denkleminin sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlarla olan çözümünü bulunuz.
B=7B = 7 ve C=5C = 5 olarak bulunur.
CC tek sayı olmalıdır. C=5C=5 için 4B=28  ⟹  B=74B = 28 \implies B=7 bulunur. Diğer durumlarda rakam olma veya sıfırdan farklı olma koşulları sağlanmaz.
5
Bulunan A=4A=4, B=7B=7 ve C=5C=5 değerlerinin toplamını hesaplayınız.
A+B+C=16A + B + C = 16 bulunur.
Soruda ABCABC sayısının rakamları toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Sayı basamaklarının çözümlenmesi ve verilen kısıtlar altında değer aralığı analizi ile denklem çözümü.
Bu soruyu puanla

Konular

Basamak Analizi ve Çözümleme

Bu konudan daha fazla soru