Bir K kümesi K = \left\{ x \in \mathbb{R} : \frac{18}{x} \in \mathbb{Z}^+ \right\} şeklind… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir $K$ kümesi

K = \left\{ x \in \mathbb{R} : \frac{18}{x} \in \mathbb{Z}^+ \right\}

şeklinde tanımlanıyor.

Buna göre,

I. $K$ kümesinin eleman sayısı sonsuzdur.
II. $K$ kümesinin elemanlarından 6 tanesi tam sayıdır.
III. $K$ kümesinin en küçük elemanı 1'dir.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

A
Yalnız I
B
Yalnız II
I ve IICevap
D
II ve III
E
I, II ve III

Cevap

I ve II

Doğru olan seçenekte belirtildiği gibi, birinci öncül doğrudur çünkü pozitif tam sayı olan her

k

değeri için sonsuz farklı

x

gerçel sayısı elde edilir. İkinci öncül doğrudur çünkü

x

'in tam sayı olabilmesi için

k

'nin 18'in pozitif bir böleni olması gerekir ve bu koşulu sağlayan 6 adet tam sayı eleman mevcuttur. Üçüncü öncül ise yanlıştır çünkü

k

değeri 18'den büyük seçildiğinde (örneğin

k = 36

için

x = 0,5

) 1'den daha küçük elemanlar da kümenin içinde yer alır.

Adım Adım Çözüm

K kümesinin tanım koşulunu analiz etme.

x = \frac{18}{k}

(burada

k \in \mathbb{Z}^+

)

\frac{18}{x}

ifadesinin pozitif bir tam sayı olması istendiğinden, bu ifadeye

k

dersek

k \in \mathbb{Z}^+

olmalıdır. Buradan

x

yalnız bırakılır.

Kümenin eleman sayıs��nın sonsuzluğunu (I. öncül) inceleme.

k \in \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}

için sonsuz farklı

x \in \mathbb{R}

değeri bulunur.

k

pozitif tam sayısı sonsuz sayıda değer alabilir. Bu değerlerin her biri için tanımlanan

x = \frac{18}{k}

sayıları birer gerçel sayı (örneğin

k=5

için

x=3,6

) olup

K

kümesine aittir. Dolay��sıyla I. öncül doğrudur.

Kümedeki tam sayı olan elemanları (II. öncül) belirleme.

x \in \mathbb{Z} \implies k \in \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}

olmak üzere 6 farklı tam sayı eleman vardır.

x = \frac{18}{k}

ifadesinin bir tam sayı belirtmesi için

k

pozitif tam sayısının 18'i tam bölmesi gerekir. 18'in pozitif bölen sayısı 6 olduğundan

K

kümesindeki tam sayılar 18, 9, 6, 3, 2, 1'dir. Dolayısıyla II. öncül doğrudur.

Kümenin en küçük elemanını (III. öncül) kontrol etme.

k = 36 \implies x = 0,5 \in K

olup bu değer 1'den küçüktür.

k

pozitif tam sayısı büyüdükçe

x = \frac{18}{k}

değeri küçülür ve sıfıra yaklaşır.

x

değeri 1'den küçük pozitif rasyonel değerler de alabildiğinden en küçük eleman 1 değildir. Dolayısıyla III. öncül yanlıştır.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri Tanımları ve Eleman Analizi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru