Examkin

Soru

Zorluk: ZorSayı Kümeleri
Gerçel sayılar kümesi üzerinde
K={x∈R:x2∈Q}K = \{ x \in \mathbb{R} : x^2 \in \mathbb{Q} \}
L={x∈R:x3∈Q}L = \{ x \in \mathbb{R} : x^3 \in \mathbb{Q} \}
kümeleri tanımlanıyor.

Buna göre,
I. K∩L=QK \cap L = \mathbb{Q}
II. x∈Kx \in K ve y∈Ky \in K ise x⋅y∈Kx \cdot y \in K
III. x∈Kx \in K ve y∈Ky \in K ise x+y∈Kx + y \in K

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız II
  3. I ve IICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve II
I ve II ifadelerini içeren seçenek doğrudur. Birinci ifadede, eğer bir sayının hem karesi hem de küpü rasyonel ise, kendisi de rasyonel olmak zorundadır (sayı sıfırdan farklı ise x=x3/x2x = x^3 / x^2 bölümü rasyonel sayıların bölme işlemine göre kapalılığından rasyoneldir, sayı sıfır ise zaten rasyoneldir). İkinci ifadede, karesi rasyonel olan iki sayının çarpımının karesi, bu sayıların karelerinin çarpımına eşittir ve iki rasyonel sayının çarpımı daima rasyoneldir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci öncülü (K∩L=QK \cap L = \mathbb{Q}) analiz etmek.
x∈Qx \in \mathbb{Q} ise x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve x3∈Qx^3 \in \mathbb{Q} olduğundan x∈K∩Lx \in K \cap L olur. Tersine, x∈K∩Lx \in K \cap L ve x≠0x \neq 0 ise x=x3/x2x = x^3 / x^2 yazılabilir. Rasyonel iki sayının bölümü de rasyonel olduğundan x∈Qx \in \mathbb{Q} bulunur. x=0x = 0 durumu için de 0∈Q0 \in \mathbb{Q} olduğundan her durumda K∩L=QK \cap L = \mathbb{Q} elde edilir. Bu nedenle birinci öncül doğrudur.
Kesişim kümesinin rasyonel sayılar kümesine eşitliğini doğrulamak.
2
İkinci öncülü (x,y∈K  ⟹  x⋅y∈Kx, y \in K \implies x \cdot y \in K) analiz etmek.
x,y∈Kx, y \in K ise x2∈Qx^2 \in \mathbb{Q} ve y2∈Qy^2 \in \mathbb{Q}'dur. Buradan (x⋅y)2=x2⋅y2(x \cdot y)^2 = x^2 \cdot y^2 olur. İki rasyonel sayının çarpımı rasyonel olduğundan (x⋅y)2∈Q(x \cdot y)^2 \in \mathbb{Q} elde edilir. Bu da tanım gereği x⋅y∈Kx \cdot y \in K demektir. Dolayısıyla ikinci öncül her zaman doğrudur.
K kümesinin çarpma işlemine göre kapalılığını incelemek.
3
Üçüncü öncülü (x,y∈K  ⟹  x+y∈Kx, y \in K \implies x + y \in K) analiz etmek.
x=2∈Kx = \sqrt{2} \in K (çünkü (2)2=2∈Q(\sqrt{2})^2 = 2 \in \mathbb{Q}) ve y=3∈Ky = \sqrt{3} \in K (çünkü (3)2=3∈Q(\sqrt{3})^2 = 3 \in \mathbb{Q}) seçelim. Bu durumda x+y=2+3x + y = \sqrt{2} + \sqrt{3} olur. (x+y)2=(2+3)2=5+26∉Q(x+y)^2 = (\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 5 + 2\sqrt{6} \notin \mathbb{Q} olduğundan x+y∉Kx+y \notin K'dir. Dolayısıyla üçüncü öncül her zaman doğru değildir.
Toplama işleminin K kümesinde kapalı olup olmadığını karşıt örnekle kontrol etmek.

Anahtar Kavram

Sayı kümeleri (rasyonel ve irrasyonel sayılar) ve bu kümeler üzerindeki işlemlerin kapalılık özellikleri.

Alternatif Yöntem

Birinci öncül için, rasyonel sayıların kendi aralarında bölme işlemine göre kapalı olması (sıfır hariç) kullanılarak pratik bir ispat yapılabilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru