Examkin

Soru

Zorluk: Zorİkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri

kk bir gerçel sayı olmak üzere,

x2−(k−1)x−k+1=0x^2 - (k-1)x - k + 1 = 0

denkleminin gerçel kökleri x1x_1 ve x2x_2 dir.

x12⋅x2+x1⋅x22+2x1+2x2=−8x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2 + 2x_1 + 2x_2 = -8

olduğuna göre, kk kaçtır?

  1. 5Cevap
  2. B
    -1
  3. C
    4
  4. D
    3
  5. E
    -3

Cevap

k sayısı 5 olmalıdır.
Verilen ifadeyi ortak paranteze aldığımızda (x1x2+2)(x1+x2)=−8(x_1 x_2 + 2)(x_1 + x_2) = -8 elde edilir. Kökler toplamı k−1k-1 ve kökler çarpımı −(k−1)-(k-1) olduğundan, k−1=tk-1 = t dönüşümüyle t2−2t−8=0t^2 - 2t - 8 = 0 denklemi bulunur. Bu denklemin çözümü olan t=4t=4 değeri için k=5k=5 elde edilir ve bu değer denklemin diskriminantını pozitif yaptığı için gerçel kök şartını sağlar.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen cebirsel ifadeyi ortak çarpan parantezine alarak düzenleyin.
x12⋅x2+x1⋅x22+2x1+2x2=x1x2(x1+x2)+2(x1+x2)=(x1x2+2)(x1+x2)=−8x_1^2 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_2^2 + 2x_1 + 2x_2 = x_1 x_2(x_1 + x_2) + 2(x_1 + x_2) = (x_1 x_2 + 2)(x_1 + x_2) = -8
Kökler toplamı (x1+x2x_1 + x_2) ve kökler çarpımı (x1x2x_1 x_2) ifadelerini doğrudan yerine yazabilmek için.
2
İkinci dereceden denklemin katsayılarını kullanarak kökler toplamı ve kökler çarpımını kk cinsinden ifade edin.
x1+x2=−−(k−1)1=k−1x_1 + x_2 = -\frac{-(k-1)}{1} = k-1 ve x1x2=−k+11=−(k−1)x_1 x_2 = \frac{-k+1}{1} = -(k-1)
Kök-katsayı ilişkisini kurarak değişken sayısını bire indirmek için.
3
k−1=tk-1 = t dönüşümü yaparak elde edilen ifadeleri birinci adımda bulduğumuz eşitlikte yerine yazın.
(−t+2)⋅t=−8  ⟹  −t2+2t+8=0  ⟹  t2−2t−8=0(-t + 2) \cdot t = -8 \implies -t^2 + 2t + 8 = 0 \implies t^2 - 2t - 8 = 0
tt değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde etmek için.
4
Ende edilen denklemi çarpanlarına ayırarak tt ve buna bağlı olarak kk değerlerini bulun.
(t−4)(t+2)=0  ⟹  t=4 veya t=−2(t-4)(t+2) = 0 \implies t = 4 \text{ veya } t = -2. k=t+1k = t + 1 olduğundan, k=5k = 5 veya k=−1k = -1 bulunur.
Cebirsel eşitliği sağlayan tüm olası aday değerleri belirlemek için.
5
Bulunan kk değerleri için denklemin diskriminantını (Δ\Delta) inceleyerek gerçel köklerin varlığını kontrol edin.
Δ=(k−1)2−4(−k+1)=(k−1)(k+3)\Delta = (k-1)^2 - 4(-k+1) = (k-1)(k+3). k=5k=5 için Δ=4⋅8=32>0\Delta = 4 \cdot 8 = 32 > 0 (gerçel kökler var). k=−1k=-1 için Δ=(−2)⋅2=−4<0\Delta = (-2) \cdot 2 = -4 < 0 (gerçel kökler yok, karmaşık kökler var).
Soruda köklerin gerçel olduğu belirtildiğinden, diskriminantın sıfırdan büyük veya eşit olması şartını sağlayan tek değeri seçmek için.

Anahtar Kavram

İkinci dereceden denklemlerde kökler toplamı (−b/a-b/a) ve kökler çarpımı (c/ac/a) formüllerinin gerçel kök şartı (Δ≥0\Delta \ge 0) ile birlikte uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

İkinci Dereceden Denklemlerde Kök-Katsayı İlişkileri