Bir n pozitif tam sayısı için x_n = \sqrt{n^2 + 15n} sayısı tanımlanıyor. Buna göre, x_n s… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Bir $n$ pozitif tam sayısı için

x_n = \sqrt{n^2 + 15n}

sayısı tanımlanıyor.

Buna göre, $x_n$ sayısının bir rasyonel sayı olmasını sağlayan ka�� farklı $n$ değeri vardır?

Cevap: 4

İfadenin rasyonel bir sayı olmasını sağlayan 4 farklı pozitif tam sayı değeri vardır.

Verilen kareköklü ifadenin rasyonel bir sayı belirtmesi, kök içerisindeki

n^2 + 15n

ifadesinin bir tam kare olmasını gerektirir. Tam kareye tamamlama metodu ve iki kare farkı yardımıyla elde edilen

(2n + 15 - 2k)(2n + 15 + 2k) = 225

denkleminde, 225'in çarpanları üzerinden

n > 0

koşulunu sağlayan tam olarak 4 farklı

n

pozitif tam sayısı (

1, 5, 12, 49

) elde edilmiştir.

Kökün içindeki ifadenin rasyonellik şartını belirlemek.

n^2 + 15n = k^2

(burada

k

bir pozitif tam sayıdır)

Pozitif bir tam sayının karekökünün rasyonel sayı olabilmesi için sayının tam kare olması gerekir.

Denklemi düzenleyerek iki kare farkı şeklinde çarpanlarına ayırmak.

(2n + 15 - 2k)(2n + 15 + 2k) = 225

Çarpan analizi yaparak bilinmeyenlerin alabileceği tam sayı değerlerini sınırlandırmak.

225'in çarpan çiftleri üzerinden

n

değerlerini elde etmek.

n

değerleri 49, 12, 5 ve 1 olarak bulunur.

n

k

değerlerinin pozitif tam sayı olma koşulunu sağlayan tüm durumları incelemek.

Rasyonel ve İrrasyonel Sayı Kümesi İlişkileri

Soru