Examkin

Soru

Zorluk: OrtaSayı Kümeleri

Sayı doğrusu üzerinde yerleri işaretlenmiş aa, bb ve cc gerçel sayıları hakkında aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
* b∈Z∖Nb \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}
* a∈Q∖Za \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}
* c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}
* b<a<cb < a < c
* b⋅a⋅c>0b \cdot a \cdot c > 0
* a+c<0a + c < 0

Buna göre; bb, aa ve cc sayıları sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?

  1. A
    −2.5-2.5, −1.5-1.5, 3\sqrt{3}
  2. B
    −4-4, −2-2, 2\sqrt{2}
  3. −3-3, −2.5-2.5, 5\sqrt{5}Cevap
  4. D
    −3-3, −2-\sqrt{2}, 1.51.5
  5. E
    −2-2, −0.5-0.5, 00

Cevap

İlk elemanı −3-3, ikinci elemanı −2.5-2.5 ve üçüncü elemanı 5\sqrt{5} olan seçenek doğrudur.
Doğru seçenekte verilen değerler sırasıyla incelendiğinde; ilk sayının negatif bir tam sayı (b=−3b = -3), ikinci sayının tam sayı olmayan negatif bir rasyonel sayı (a=−2.5a = -2.5) ve üçüncü sayının pozitif bir irrasyonel sayı (c=5c = \sqrt{5}) olduğu görülür. Bu sayılar hem b<a<cb < a < c sıralamasını sağlar hem de iki negatif ve bir pozitif sayının çarpımı pozitif olacağından b⋅a⋅c>0b \cdot a \cdot c > 0 koşulunu ve mutlak değerce daha büyük olan negatif sayı ile pozitif sayının toplamı negatif olacağından a+c<0a + c < 0 koşulunu sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Koşullardaki sayı kümelerini tanımlama ve eleman özelliklerini belirleme
b∈Z∖Nb \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N} ifadesi, bb sayısının bir tam sayı olduğunu fakat doğal sayı olmadığını gösterir. Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,3,… }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} olduğundan, bb negatif bir tam sayı olmalıdır.
a∈Q∖Za \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z} ifadesi, aa sayısının bir rasyonel sayı olduğunu fakat tam sayı olmadığını belirtir.
c∈R∖Qc \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} ifadesi, cc sayısının rasyonel olmayan bir gerçel sayı, yani irrasyonel bir sayı (örneğin 2,5,π\sqrt{2}, \sqrt{5}, \pi) olduğunu gösterir.
Sayıların hangi sayı kümelerine ait olduğunu belirleyerek seçenekleri elemek için.
2
Eşitsizlikler ve işaret kuralları yardımıyla sayıların işaretlerini analiz etme
b⋅a⋅c>0b \cdot a \cdot c > 0 verilmiştir. bb sayısının negatif bir tam sayı olduğunu bildiğimizden (b<0b < 0), çarpımın pozitif olması için a⋅c<0a \cdot c < 0 olmalıdır. Bu durum aa ve cc sayılarının zıt işaretli olduğunu gösterir.
b<a<cb < a < c eşitsizliğine göre a<ca < c olduğundan, negatif olan sayı aa (a<0a < 0), pozitif olan sayı ise cc (c>0c > 0) olmalıdır.
a+c<0a + c < 0 koşulunda aa negatif ve cc pozitif olduğuna göre, toplamın negatif çıkması için negatif olan aa sayısının mutlak değerce pozitif olan cc sayısından büyük olması gerekir (∣a∣>c|a| > c).
Sayıların yönünü, işaretlerini ve mutlak değer ilişkilerini sınırlandırıp doğru seçeneğe ulaşmak için.
3
Seçenekleri elde edilen kurallara göre test etme
−3-3, −2.5-2.5 ve 5\sqrt{5} değerleri için:
* b=−3b = -3 negatif bir tam sayıdır (sağlar).
* a=−2.5a = -2.5 tam sayı olmayan rasyonel bir sayıdır (sağlar).
* c=5c = \sqrt{5} irrasyonel bir sayıdır (sağlar).
* −3<−2.5<5-3 < -2.5 < \sqrt{5} sıralaması doğrudur (sağlar).
* (−3)⋅(−2.5)⋅5=7.55>0(-3) \cdot (-2.5) \cdot \sqrt{5} = 7.5\sqrt{5} > 0 koşulu doğrudur (sağlar).
* −2.5+5<0-2.5 + \sqrt{5} < 0 koşulu doğrudur, çünkü 5≈2.236\sqrt{5} \approx 2.236 olup 2.236<2.52.236 < 2.5 değerindedir (sağlar).
Koşulların tamamını sağlayan tek seçeneğin doğruluğunu netleştirmek için.

Anahtar Kavram

Sayı Kümeleri ve Kümeler Arasındaki İlişkiler (Doğal, Tam, Rasyonel, İrrasyonel ve Gerçel Sayılar)
Bu soruyu puanla

Konular

Sayı Kümeleri

Bu konudan daha fazla soru