Pozitif doğal sayılar kümesi \mathbb{N}^+, tam sayılar kümesi \mathbb{Z} ve rasyonel sayıl… — YKS TYT (Temel Yeterlilik Testi)

Pozitif doğal sayılar kümesi $\mathbb{N}^+$ , tam sayılar kümesi $\mathbb{Z}$ ve rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ ile gösterilmektedir.

$x \in \mathbb{Q}$ olmak üzere,
* $3x - 1 \in \mathbb{N}^+$
* $\frac{12}{x} \in \mathbb{Z}$

koşullarını sağlayan kaç farklı $x$ değeri vardır?

Cevap: 8

Cevap

Koşulları sağlayan 8 farklı x değeri vardır.

Koşulları sağlayan x değerleri x = (k+1)/3 formundadır. k + 1 ifadesi 36'nın 1'den büyük pozitif böleni olmalıdır. Bu bölenler 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36 olmak üzere 8 adettir. Dolayısıyla 8 farklı x değeri mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

3x - 1 ifadesini pozitif bir k tam sayısına eşitleyerek x'i yalnız bırakın.

x = \frac{k+1}{3} (k \in \mathbb{N}^+)

x değerini k cinsinden ifade edip rasyonel sayı olma koşuluyla uyumunu görmek ve ikinci koşulda yerine yazabilmek için.

Bulunan x ifadesini \frac{12}{x} ifadesinde yerine yazın ve tam sayı olma koşulunu analiz edin.

\frac{12}{\frac{k+1}{3}} = \frac{36}{k+1} \in \mathbb{Z}

İkinci koşul olan \frac{12}{x} ifadesinin tam sayı olması şartını k değişkenine bağlı olarak ifade etmek için.

k \in \mathbb{N}^+ koşulundan yola çıkarak k + 1 ifadesinin alabileceği değerleri belirleyin.

k \geq 1 olduğundan k + 1 \geq 2 olmalıdır. 36'nın pozitif bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36'dır. k + 1 \geq 2 koşulunu sağlayan bölenler: 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 olmak üzere 8 tanedir.

Paydanın 36'yı tam bölmesi gerektiği ve k'nin pozitif doğal sayı olmasından dolayı k+1'in 2 veya daha büyük bir tam sayı olması gerektiği için.

Anahtar Kavram

Sayı kümelerinin (pozitif doğal sayılar, tam sayılar ve rasyonel sayılar) eleman özelliklerini kullanarak değişkenler arasındaki bölünebilme ilişkilerini analiz etme.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru